A B C D est un parallélogramme du plan. On construit les points E et F tels que : A E = 2 3 A B et D F = − 2 D A Montrer que C E = 2 1 A B − A D et que F E = 2 3 A B − 3 A D . En déduire que les points E , F et C sont alignés.

Alignement de points dans un parallélogramme

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

$A B C D$ est un parallélogramme du plan. On construit les points $E$ et $F$ tels que :

$A E = \frac{3}{2} A B et D F = - 2 D A$

Montrer que $C E = \frac{1}{2} A B - A D$ et que $F E = \frac{3}{2} A B - 3 A D$ .
En déduire que les points $E$ , $F$ et $C$ sont alignés.

Indices

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1 Indice 1

Pour $\overrightarrow{CE}$, utilise la relation de Chasles en passant par $B$ : $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}$, en exprimant chaque vecteur avec $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.

2 Indice 2

Pour $\overrightarrow{FE}$, procède de même en passant par $D$ puis $A$, en utilisant $\overrightarrow{FD}=-\overrightarrow{DF}$.

3 Indice 3

Pour l'alignement, essaie de factoriser $\overrightarrow{FE}$ pour faire apparaître un multiple de $\overrightarrow{CE}$.

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