On donne A(0, 0), B(4, 0) et C(1, 3). Calculer A B ⋅ A C (produit scalaire). Trouver le pied H de la hauteur issue de C (point sur [AB] tel que C H ⊥ A B ). Rappel : u ( a ; b ) ⋅ v ( c ; d ) = a c + b d .

Projection orthogonale et vecteurs

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

On donne A(0, 0), B(4, 0) et C(1, 3).

Calculer $A B \cdot A C$ (produit scalaire).
Trouver le pied H de la hauteur issue de C (point sur [AB] tel que $C H ⊥ A B$ ).

Rappel : $u (a; b) \cdot v (c; d) = a c + b d$ .

Indices

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1 Indice 1

Calcule d'abord les coordonnees des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ a partir des coordonnees des points.

2 Indice 2

Utilise la formule rappelee dans l'enonce pour calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

3 Indice 3

Pour trouver H, pose $H(h\,;0)$ car H appartient a $(AB)$ qui est l'axe des abscisses, exprime $\vec{CH}$, puis traduis la perpendicularite par un produit scalaire nul avec $\vec{AB}$.

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