Fonction inverse et droite : intersections et positions relatives

Dans un repère, on note $\mathcal{H}$ la courbe de la fonction inverse $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $f(x)=\frac{1}{x}$, et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=x$, courbe de la fonction $g(x)=x$.

1. Déterminer les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{H}$ et $\mathcal{D}$ en résolvant $f(x)=g(x)$ sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

2. Pour $x\ne 0$, montrer que $f(x)-g(x)=\frac{1-x^2}{x}$.

3. Étudier le signe de $f(x)-g(x)$ sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

4. En déduire les positions relatives de la courbe $\mathcal{H}$ et de la droite $\mathcal{D}$.