Parité et variations d'une fonction rationnelle impaire

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$

1. Étudier la parité de $f$.
2. Montrer que pour tous réels $x$ et $y$ : $f(x)-f(y)=\frac{2(1-xy)(x-y)}{(x^2+1)(y^2+1)}$. En déduire l'expression du taux de variation de $f$.
3. Étudier le sens de variation de $f$ sur $\left[0;1\right]$ puis sur $\left[1;+\infty \right[$.