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Schéma de Bernoulli et loi binomiale : pièces défectueuses

Difficile Inspiré BAC France
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Exercice inspiré d'un BAC France
Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Une machine produit des pièces métalliques. On admet que chaque pièce est défectueuse, indépendamment des autres, avec une probabilité . On prélève au hasard un lot de pièces dans la production et on note le nombre de pièces défectueuses parmi ces pièces.

1. Justifier que suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité qu'aucune pièce ne soit défectueuse (arrondir au millième).
3. En déduire la probabilité qu'au moins une pièce soit défectueuse (arrondir au millième).
4. Calculer la probabilité qu'exactement une pièce soit défectueuse (arrondir au millième).
5. Déterminer l'espérance et interpréter le résultat.

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour la question 1, identifie les caracteristiques d'un schema de Bernoulli repete : nombre d'epreuves independantes et identiques, probabilite de succes.
2 Indice 2
Pour les questions 2 a 4, utilise la formule $P(X=k)=\\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ avec les valeurs de $n$ et $p$ trouvees, et pense a l'evenement contraire pour la question 3.
3 Indice 3
Pour la question 5, rappelle-toi que l'esperance d'une loi binomiale se calcule directement a partir de ses deux parametres.

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