Loi binomiale — Contrôle qualité en usine

Exercice 2 — Contrôle qualité à Casablanca

Une usine de fabrication de pièces mécaniques à Casablanca produit des pièces dont 5 % sont défectueuses. Un contrôleur prélève au hasard un échantillon de 20 pièces. On note X le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon.

1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

2. Calculer, en arrondissant à $10^{-4}$ près :

1. La probabilité qu'il n'y ait aucune pièce défectueuse.
2. La probabilité qu'il y ait exactement 2 pièces défectueuses.
3. La probabilité qu'il y ait au moins une pièce défectueuse.

3. Calculer l'espérance E(X) et la variance V(X). Interpréter E(X) dans le contexte.

4. On note Y = 3X − 1. Calculer E(Y) et V(Y).

On donne : $0,95^{20}$ ≈ 0,3585 et $0,95^{18}$ ≈ 0,3972.