Étude de A ( x ) = cos ( 2 x ) + cos ( x ) − sin ( x ) Montrer que pour tout x ∈ R , A ( x ) = ( cos x − sin x ) ( 1 + cos x + sin x ) . Résoudre dans R l'équation A ( x ) = 0 .

Factorisation de $\cos 2x+\cos x-\sin x$

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Étude de $A (x) = cos (2 x) + cos (x) - sin (x)$

Montrer que pour tout $x \in R$ , $A (x) = (cos x - sin x) (1 + cos x + sin x)$ .
Résoudre dans $R$ l'équation $A (x) = 0$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, exprime $\cos(2x)$ à l'aide de la formule $\cos^2 x - \sin^2 x$, qui se factorise elle-même en $(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$.

2 Indice 2

Mets ensuite en facteur commun $(\cos x - \sin x)$ dans l'expression complète de $A(x)$.

3 Indice 3

Pour la question 2, un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul : résous séparément $\cos x - \sin x = 0$ (pense à $\tan x$) et $1+\cos x+\sin x=0$ (pense à écrire $\cos x+\sin x$ sous la forme $\sqrt{2}\cos(x-\pi/4)$).

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Factorisation de $\cos 2x+\cos x-\sin x$

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Étude de $A (x) = cos (2 x) + cos (x) - sin (x)$

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Étude de A(x)=cos(2x)+cos(x)−sin(x)

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