Trigonométrie — Résumé de cours

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Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , muni d'un sens de parcours. Le sens direct (positif) est le sens inverse des aiguilles d'une montre. On y repère les points à partir de $I (1; 0)$ .

L'enroulement de la droite numérique

On imagine la droite des réels tangente au cercle en $I$ , puis on l'enroule autour du cercle. À chaque réel $x$ correspond alors un unique point $M$ du cercle. Comme le périmètre vaut $2 π$ , les réels $x$ et $x + 2 π$ aboutissent au même point.

Le radian

Le radian est l'unité d'angle telle qu'un arc de longueur $1$ sur le cercle trigonométrique correspond à un angle de $1$ rad. Le tour complet vaut $2 π$ rad, soit $360°$ . On a donc $π$ rad $= 180°$ .

Exemple : $90°$ correspond à $\frac{π}{2}$ rad.

Cosinus et sinus d'un réel

Soit $M$ le point associé au réel $x$ par enroulement. Par définition, le cosinus de $x$ est l'abscisse de $M$ et le sinus de $x$ est son ordonnée : $M (cos x; sin x)$ .

Pour tout réel $x$ : $- 1 ⩽ cos x ⩽ 1$ et $- 1 ⩽ sin x ⩽ 1$ .

Les valeurs remarquables

Il faut connaître par cœur :

$cos 0 = 1$ , $sin 0 = 0$ ; $cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ , $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ ; $cos \frac{π}{4} = sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ ; $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ , $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ ; $cos \frac{π}{2} = 0$ , $sin \frac{π}{2} = 1$ .

L'identité fondamentale

Pour tout réel $x$ : $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ . Cette relation permet de calculer $sin x$ connaissant $cos x$ (au signe près), et inversement.

Exemple : si $cos x = \frac{3}{5}$ , alors $sin^{2} x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , donc $sin x = \pm \frac{4}{5}$ .

Parité et périodicité

La fonction cosinus est paire : $cos (- x) = cos x$ . La fonction sinus est impaire : $sin (- x) = - sin x$ . Toutes deux sont périodiques de période $2 π$ : $cos (x + 2 π) = cos x$ et $sin (x + 2 π) = sin x$ .

Les angles associés

En exploitant les symétries du cercle, on relie les valeurs en $- x$ , $π - x$ , $π + x$ et $\frac{π}{2} - x$ à celles en $x$ . Par exemple $cos (π - x) = - cos x$ et $sin (π - x) = sin x$ .

Exemple : $cos \frac{5 π}{6} = cos (π - \frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}$ .

Les équations cos x = a et sin x = a

Pour $- 1 ⩽ a ⩽ 1$ , l'équation $cos x = a$ admet, sur un tour, deux solutions opposées $x = α$ et $x = - α$ . De même $sin x = a$ a deux solutions $x = β$ et $x = π - β$ . On ajoute ensuite $2 k π$ ( $k \in Z$ ) pour décrire toutes les solutions.

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Calcul de $cos x$ à partir de $sin x$

Énoncé. Soit $x$ un réel tel que $sin x = \frac{2}{3}$ et $x \in [\frac{π}{2}; π]$ . Déterminer la valeur exacte de $cos x$ .

Solution.

Relation fondamentale. Pour tout réel $x$ , on a $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ , donc $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ .
Calcul de $cos^{2} x$ . On a $sin^{2} x = (\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$ , d'où $cos^{2} x = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ .
Choix du signe. On a donc $cos x = \frac{5}{3}$ ou $cos x = - \frac{5}{3}$ . Comme $x$ appartient à $[\frac{π}{2}; π]$ (deuxième quadrant), le cosinus est négatif. On retient donc $cos x = - \frac{5}{3}$ .
Conclusion. $cos x = - \frac{5}{3}$ .

Exemple 2 — Résoudre $cos x = a$ sur un intervalle

Énoncé. Résoudre l'équation $cos x = \frac{1}{2}$ sur l'intervalle $] - π; π]$ .

Solution.

Solution de référence. On cherche un angle dont le cosinus vaut $\frac{1}{2}$ . D'après les valeurs remarquables, $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ .
Forme générale. L'équation $cos x = cos \frac{π}{3}$ équivaut à $x = \frac{π}{3} + 2 k π$ ou $x = - \frac{π}{3} + 2 k π$ , avec $k \in Z$ (angles associés : $cos (- α) = cos α$ ).
Sélection sur l'intervalle. On cherche les solutions dans $] - π; π]$ . Pour $k = 0$ , on obtient $x = \frac{π}{3}$ et $x = - \frac{π}{3}$ , qui appartiennent bien à l'intervalle. Les autres valeurs de $k$ donnent des angles hors de $] - π; π]$ .
Conclusion. L'ensemble des solutions est ${- \frac{π}{3}; \frac{π}{3}}$ .

Exemple 3 — Résoudre $sin x = a$ et angles associés

Énoncé. Résoudre l'équation $sin x = \frac{2}{2}$ sur l'intervalle $[0; 2 π [$ .

Solution.

Solution de référence. D'après les valeurs remarquables, $sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ .
Forme générale. L'équation $sin x = sin \frac{π}{4}$ équivaut à $x = \frac{π}{4} + 2 k π$ ou $x = π - \frac{π}{4} + 2 k π$ , avec $k \in Z$ (angles associés : $sin (π - α) = sin α$ ). On a $π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ .
Sélection sur l'intervalle. On cherche les solutions dans $[0; 2 π [$ . Pour $k = 0$ , on obtient $x = \frac{π}{4}$ et $x = \frac{3 π}{4}$ , qui conviennent. Les autres valeurs de $k$ sortent de l'intervalle.
Conclusion. L'ensemble des solutions est ${\frac{π}{4}; \frac{3 π}{4}}$ .

🔑 Formules clés à retenir

$π$ rad $= 180°$ , donc $1° = \frac{π}{180}$ rad et $1$ rad $= \frac{180}{π} °$ .
$M$ associé à $x$ : $M (cos x; sin x)$ , avec $- 1 ⩽ cos x ⩽ 1$ et $- 1 ⩽ sin x ⩽ 1$ .
Identité : $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ .
Périodicité : $cos (x + 2 π) = cos x$ et $sin (x + 2 π) = sin x$ .
Parité : $cos (- x) = cos x$ et $sin (- x) = - sin x$ .
$cos (π - x) = - cos x$ et $sin (π - x) = sin x$ .
$cos (π + x) = - cos x$ et $sin (π + x) = - sin x$ .
$cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ et $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ .
Valeurs remarquables : $cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ , $cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ , $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ .
$cos x = a ⟺ x = α + 2 k π$ ou $x = - α + 2 k π$ ( $k \in Z$ ).
$sin x = a ⟺ x = β + 2 k π$ ou $x = π - β + 2 k π$ ( $k \in Z$ ).

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Concepts interactifs liés

Manipule ces idées pour les comprendre vraiment

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Le cercle trigonométrique

cos, sin, tan : les projections magiques

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Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Radians vs degrés : en spé, on travaille presque toujours en radians. Gardez en tête les repères $\frac{π}{6} = 30°$ , $\frac{π}{4} = 45°$ , $\frac{π}{3} = 60°$ , $\frac{π}{2} = 90°$ .
Signe selon le quadrant : à droite/gauche pour le signe de $cos$ , en haut/bas pour le signe de $sin$ . Quadrant 1 : tout positif ; quadrant 2 : $cos < 0$ , $sin > 0$ ; quadrant 3 : tout négatif ; quadrant 4 : $cos > 0$ , $sin < 0$ .
Mémoriser les valeurs : pour $0, \frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}$ , le sinus suit $\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}$ ; le cosinus se lit à l'envers.
Pensez périodicité : avant tout calcul, ramenez l'angle dans $[0; 2 π [$ en ajoutant ou retranchant des $2 π$ .
$cos$ pair, $sin$ impair : un signe $-$ devant l'angle disparaît dans $cos$ mais ressort dans $sin$ .
Vérifiez avec l'identité : tout couple $(cos x, sin x)$ doit satisfaire $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ ; sinon il y a une erreur.

Trigonométrie — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

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11 exercices

Application des formules d'addition

Facile

Énoncé

Calculez cos( $π$ /4 + $π$ /6) en utilisant les formules d'addition.

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Le cercle trigonométrique

L'enroulement de la droite numérique

Le radian

Cosinus et sinus d'un réel

Les valeurs remarquables

L'identité fondamentale

Parité et périodicité

Les angles associés

Les équations cos x = a et sin x = a

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Calcul de cosx à partir de sinx

Exemple 2 — Résoudre cosx=a sur un intervalle

Exemple 3 — Résoudre sinx=a et angles associés

🔑 Formules clés à retenir

Concepts interactifs liés

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Trigonométrie — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Application des formules d'addition

Mesures principales associées à des points du cercle

Sinus, cosinus et tangente d'un angle obtus

Coordonnées d'un point sur le cercle trigonométrique

Conversion d'un angle en degrés

Calcul de cosinus

Radians, valeurs remarquables et angle associé

Cercle trigonométrique et valeurs remarquables

Conversion degrés-radians et valeurs remarquables

Cercle trigonométrique — valeurs remarquables

Formules de périodicité et symétrie

Exercices Intermédiaires

Équations trigonométriques à trois questions sur ℝ

Résolution d'équations trigonométriques

Forme R·cos(x−φ) : 3cos(x)+4sin(x)

Équations et inéquations trigonométriques élémentaires

Résolutions dans R et sur un intervalle

Tangente de $\frac{\pi}{12}$ par deux méthodes

Calcul de tan(12π​)

Écriture de $\frac{1-\cos x}{\sin x}$ avec $\tan\frac{x}{2}$

Expression en fonction de la demi-tangente

Problème concret de trigonométrie

Simplifier des expressions avec les angles associés

Identités avec puissances de sinus et cosinus

Inéquation cos x ≥ √2/2 sur différents intervalles

Énoncé

Inéquation 2cos²x − cos x < 0

Énoncé

Équations trigonométriques générales

Calcul de sin(a±b) connaissant sin(a) et cos(b)

Formules d'addition

Équation sin(2x) = cos(x)

Identité $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ et angles associés

Identité cos² + sin² = 1 et calcul d'un sinus

Utilisation de l'identité $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

Équation trigonométrique $\cos x = a$

Relation fondamentale et calcul de $\tan$

Exercices Difficiles

Factorisation et résolution de $A(x)=\cos 2x+\cos x-\sin x$

Une expression à factoriser

Étude de $f(x)=\sqrt{3}\cos x\sin x-\sin^2 x$

Périodicité, forme réduite et application

Factorisation de $\cos 2x+\cos x-\sin x$

Étude de A(x)=cos(2x)+cos(x)−sin(x)

Problème de hauteur avec angle

Travail sur les angles et les fonctions trigonométriques

Problème concret avec trigonométrie

Étude de f(x) = 2sin²x − sin x − 1

Énoncé

Application pratique de la trigonométrie

Application concrète de la trigonométrie

Calcul de cosinus à partir de l'angle en radians

Application des formules de duplication

Inéquations trigonométriques

Transformation en a·cos(x + φ)

Équations trigonométriques sur [0, 2π[

Exemple 1 — Calcul de $cos x$ à partir de $sin x$

Exemple 2 — Résoudre $cos x = a$ sur un intervalle

Exemple 3 — Résoudre $sin x = a$ et angles associés

Résolutions dans $R$ et sur un intervalle

Calcul de $tan (\frac{π}{12})$

Étude de $A (x) = cos (2 x) + cos (x) - sin (x)$