Étude de $f(x)=\sqrt{3}\cos x\sin x-\sin^2 x$

Périodicité, forme réduite et application

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{3}\cos x\sin x-{\sin }^2(x)$.

1. Montrer que $f$ est périodique de période $\pi$.

2. Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $f(x)=2\sin (x)\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$.

3. Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)-\frac{1}{2}$.

4. Calculer $f\left(\frac{\pi }{12}\right)$ et en déduire la valeur exacte de $\sin \left(\frac{\pi }{12}\right)$.

5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ puis dans $[0;\pi ]$ l'équation $f(x)=0$.