Une expression à factoriser Pour tout x ∈ R , on pose A ( x ) = cos ( 2 x ) + cos ( x ) − sin ( x ) . Montrer que A ( x ) = ( cos x − sin x ) ( 1 + cos x + sin x ) . Résoudre dans R puis dans [ − π ; 2 π ] l'équation A ( x ) = 0 .

Factorisation et résolution de $A(x)=\cos 2x+\cos x-\sin x$

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Une expression à factoriser

Pour tout $x \in R$ , on pose $A (x) = cos (2 x) + cos (x) - sin (x)$ .

Montrer que $A (x) = (cos x - sin x) (1 + cos x + sin x)$ .
Résoudre dans $R$ puis dans $[- π; 2 π]$ l'équation $A (x) = 0$ .

Indices

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1 Indice 1

Utilise la formule $\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x$ qui se factorise elle-meme en produit de $(\cos x-\sin x)$ et $(\cos x+\sin x)$.

2 Indice 2

Apres avoir developpe, fais apparaitre un facteur commun $(\cos x-\sin x)$ dans toute l'expression $A(x)$.

3 Indice 3

Pour resoudre $A(x)=0$, un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul : traite separement $\cos x-\sin x=0$ et $1+\cos x+\sin x=0$ (pense a la forme $\sqrt{2}\cos(x-\pi/4)$ pour ce dernier).

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Factorisation et résolution de $A(x)=\cos 2x+\cos x-\sin x$

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