Deux offres d'abonnement à comparer

Une plateforme de cours en ligne propose deux formules d'abonnement. Pour modéliser le coût cumulé payé année après année, on note $n$ le numéro de l'année ($n\ge 1$).

Offre A (tarif fixe croissant). La première année coûte $120$ €, puis le montant payé chaque année augmente de $20$ € par rapport à l'année précédente. On note $a_n$ le montant payé lors de l'année $n$.

Offre B (tarif évolutif). La première année coûte $80$ €, puis le montant payé chaque année est multiplié par $1,3$ par rapport à l'année précédente. On note $b_n$ le montant payé lors de l'année $n$.

1. Préciser la nature de chacune des suites $(a_n)$ et $(b_n)$, ainsi que leurs éléments caractéristiques. Donner $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.

2. Calculer le montant payé par chaque offre lors de la 4e année (arrondir au centime pour l'offre B).

3. On note $T_A$ et $T_B$ les montants totaux payés au bout de $5$ années pour chaque offre. Calculer $T_A$ et $T_B$ (arrondir au centime). Quelle offre revient le moins cher sur $5$ ans ?

4. À partir de quelle année le montant annuel de l'offre B dépasse-t-il pour la première fois celui de l'offre A ? Justifier en comparant $a_n$ et $b_n$ pour les premières valeurs de $n$.