Application : modélisation d'une épargne par une suite

Le 1er janvier 2025, Léa place $2000$ euros sur un compte rémunéré à $4\%$ par an. Chaque 1er janvier, les intérêts sont ajoutés au capital. On note $C_n$ le capital (en euros) au 1er janvier de l'année $2025+n$. Ainsi $C_0=2000$.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $C_{n+1}=1,04C_n$.

2. En déduire la nature de la suite $(C_n)$ et exprimer $C_n$ en fonction de $n$.

3. Calculer le capital au 1er janvier 2030. On donnera la valeur arrondie au centime.

4. En réalité, Léa verse en plus $500$ euros chaque 1er janvier à partir du 1er janvier 2026 (avant que les intérêts de l'année ne soient calculés). On note $D_n$ le capital au 1er janvier de l'année $2025+n$, avec $D_0=2000$. Pour tout entier naturel $n$, on admet alors que $D_{n+1}=1,04(D_n+500)$. On pose, pour tout entier naturel $n$, $w_n=D_n+13000$. Démontrer que $(w_n)$ est géométrique, préciser sa raison et son premier terme, puis exprimer $D_n$ en fonction de $n$.