Suites adjacentes — constante e

On pose pour tout n $\in$ ${\mathbb{N}}^{\ast }$ :

$u_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!}$ et $v_n=u_n+\frac{1}{n\cdot n!}$

1. Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante.
2. Montrer que $(v_n)$ est strictement décroissante (on pourra calculer $v_{n+1}-v_n$).
3. Montrer que $\underset{n\to +\infty }{\lim }(v_n-u_n)=0$.
4. En déduire que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite (cette limite est notée e ≈ 2.718).