Problème d'optimisation — aire maximale
Difficile Inspiré BAC France
Exercice inspiré d'un BAC France
Énoncé et solution adaptés au programme français.
Voir crédits.
Énoncé
On dispose d'une clôture de m pour délimiter un jardin rectangulaire contre un mur (le mur forme un côté, donc seuls 3 côtés nécessitent de la clôture).
Soit la longueur du côté perpendiculaire au mur.
1. Exprimer l'aire en fonction de .
2. Déterminer la valeur de qui maximise l'aire, et calculer l'aire maximale.
Indices
— clique pour révéler1 Indice 1
Fais un schema du jardin : un cote est le mur (pas de cloture), donc la cloture couvre deux cotes de longueur $x$ et un cote de longueur restante. Exprime cette longueur restante en fonction de $x$ sachant que le perimetre cloture total est de 40 m.
2 Indice 2
L'aire est le produit de la longueur par la largeur du rectangle ; developpe l'expression pour obtenir un trinome du second degre en $x$.
3 Indice 3
Ce trinome a un coefficient dominant negatif, donc il admet un maximum en son sommet : utilise la formule $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ pour trouver la valeur de $x$ qui maximise l'aire.
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Léo peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.
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