Soit n un entier naturel non nul. On considère le polynôme : P ( x ) = n x n + 1 − ( n + 1 ) x n + 1 . Montrer que 1 est une racine de P ( x ) . Montrer que P ( 2 ) = 2 n ( n − 1 ) + 1 . En remarquant que P ( 2 ) fait apparaître la somme S = 2 + 2 2 + ⋯ + 2 n , déterminer la valeur de S .

Polynôme paramétré par n et somme géométrique

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère le polynôme :

$P (x) = n x^{n + 1} - (n + 1) x^{n} + 1$ .

Montrer que $1$ est une racine de $P (x)$ .
Montrer que $P (2) = 2^{n} (n - 1) + 1$ .
En remarquant que $P (2)$ fait apparaître la somme $S = 2 + 2^{2} + \dots + 2^{n}$ , déterminer la valeur de $S$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer qu'un nombre est racine d'un polynome, il suffit de remplacer $x$ par ce nombre et de verifier que l'expression s'annule.

2 Indice 2

Pour calculer $P(2)$, remplace $x$ par 2 dans l'expression du polynome puis factorise en mettant $2^n$ en facteur commun grace a la relation $2^{n+1} = 2 \times 2^n$.

3 Indice 3

Reconnais que la somme $S$ demandee est une somme geometrique de raison 2, et relie-la a l'expression de $P(2)$ trouvee precedemment pour en deduire $S$ sans refaire tout le calcul.

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Polynôme réciproque de degré 4 et équation avec valeur absolue Retour au chapitre Somme de P(x)=2x²+3x+5 et Q(x)=x²-4x+6

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