On considère le polynôme P ( x ) = 2 x 4 − 9 x 3 + 14 x 2 − 9 x + 2 . Vérifier que 0 n'est pas une racine de P ( x ) et montrer que 2 est une racine. Déterminer Q ( x ) tel que P ( x ) = ( x − 2 ) Q ( x ) . Montrer que si a est une racine non nulle de P ( x ) , alors a 1 l'est aussi ; en déduire que Q ( 2 1 ) = 0 . Factoriser complètement P ( x ) , puis résoudre dans R les équations P ( x ) = 0 et P ( ∣ x ∣ ) = 0 .

Polynôme réciproque de degré 4 et équation avec valeur absolue

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

On considère le polynôme $P (x) = 2 x^{4} - 9 x^{3} + 14 x^{2} - 9 x + 2$ .

Vérifier que $0$ n'est pas une racine de $P (x)$ et montrer que $2$ est une racine.
Déterminer $Q (x)$ tel que $P (x) = (x - 2) Q (x)$ .
Montrer que si $a$ est une racine non nulle de $P (x)$ , alors $\frac{1}{a}$ l'est aussi ; en déduire que $Q (\frac{1}{2}) = 0$ .
Factoriser complètement $P (x)$ , puis résoudre dans $R$ les équations $P (x) = 0$ et $P (∣ x ∣) = 0$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, remplace $x$ par 0 puis par 2 dans $P(x)$ et calcule chaque valeur pour verifier si elles sont racines.

2 Indice 2

Pour la question 2, effectue la division euclidienne (ou utilise la methode d'identification des coefficients) de $P(x)$ par $(x-2)$ pour obtenir le polynome $Q(x)$ de degre 3.

3 Indice 3

Pour la question 3, remarque que les coefficients de $P$ sont symetriques (palindrome), ce qui permet de relier $P(1/a)$ a $P(a)$ ; utilise ensuite le fait que 2 est racine de $P$ pour en deduire une racine de $Q$. Pour la question 4, factorise $Q(x)$ a partir de la racine trouvee, puis traite separement l'equation avec valeur absolue en distinguant les cas $x \\geq 0$ et $x < 0$.

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