Test antigénique : probabilité totale et probabilité a posteriori

Dans une population, $4\%$ des personnes sont porteuses d'un certain virus. On dispose d'un test rapide. Lorsqu'une personne est porteuse du virus, le test est positif dans $90\%$ des cas. Lorsqu'une personne n'est pas porteuse, le test est positif dans $5\%$ des cas (faux positif).

On choisit une personne au hasard et on lui fait passer le test. On note :

$\bullet$ $V$ l'événement « la personne est porteuse du virus » ;

$\bullet$ $T$ l'événement « le test est positif ».

1. Traduire l'énoncé par $P(V)$, $P_V(T)$ et $P_{\overline{V}}(T)$, puis construire l'arbre pondéré.

2. Calculer $P(V\cap T)$ et $P(\overline{V}\cap T)$.

3. En déduire la probabilité que le test soit positif.

4. Une personne a un test positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit réellement porteuse du virus ? Arrondir au centième et commenter.