Deux machines et indépendance d'événements

Une usine fabrique des pièces à l'aide de deux machines $A$ et $B$. La machine $A$ produit $70\%$ des pièces, la machine $B$ produit les $30\%$ restants. Parmi les pièces issues de $A$, $2\%$ sont défectueuses ; parmi celles issues de $B$, $6\%$ sont défectueuses.

On prélève une pièce au hasard dans la production. On note :

$\bullet$ $A$ l'événement « la pièce provient de la machine $A$ » ;

$\bullet$ $B$ l'événement « la pièce provient de la machine $B$ » ;

$\bullet$ $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

1. Construire l'arbre pondéré de la situation.

2. Montrer que la probabilité qu'une pièce soit défectueuse est $P(D)=0,032$.

3. La pièce prélevée est défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine $B$. Arrondir au centième.

4. Les événements $A$ et $D$ sont-ils indépendants ? Justifier par le calcul.