Exercice 4 — Suite et fonction exponentielle Soit la suite ( u n ) définie par u 0 = 0 et, pour tout entier n ≥ 0 : u n + 1 = e u n − 1 . On considère la fonction g définie sur R par g ( x ) = e x − x − 1 . Montrer que g ( x ) ≥ 0 pour tout x ∈ R , avec égalité si et seulement si x = 0 . En déduire que, pour tout entier n ≥ 0 : u n + 1 ≥ u n . (La suite est croissante.) Montrer par récurrence que u n ≥ 0 pour tout entier n ∈ N . On admet que la suite ( u n ) converge vers une limite ℓ ∈ R . Déterminer ℓ . Calculer les cinq premiers termes u 0 , u 1 , u 2 , u 3 , u 4 (valeurs exactes ou arrondi à 1 0 − 3 ), et vérifier la cohérence avec les résultats précédents.

Suite définie par récurrence et exponentielle — Bac Sénégal 2023

Intermédiaire

Exercice 4 — Suite et fonction exponentielle

Soit la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 0$ et, pour tout entier $n \geq 0$ : $u_{n + 1} = e^{u_{n}} - 1$ .

On considère la fonction g définie sur $R$ par $g (x) = e^{x} - x - 1$ .

Montrer que $g (x) \geq 0$ pour tout $x \in R$ , avec égalité si et seulement si $x = 0$ .
En déduire que, pour tout entier $n \geq 0$ : $u_{n + 1} \geq u_{n}$ . (La suite est croissante.)
Montrer par récurrence que $u_{n} \geq 0$ pour tout entier $n \in N$ .
On admet que la suite $(u_{n})$ converge vers une limite $ℓ \in R$ . Déterminer $ℓ$ .
Calculer les cinq premiers termes $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ , $u_{4}$ (valeurs exactes ou arrondi à $1 0^{- 3}$ ), et vérifier la cohérence avec les résultats précédents.

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