On considère la fonction f définie par f ( x ) = 2 x + e x − 1 e x . Vérifier que le domaine de définition est D f = R ∗ . Calculer x → 0 + lim f ( x ) et x → 0 − lim f ( x ) , puis interpréter graphiquement. Montrer que la droite ( D ) : y = 2 x + 1 est asymptote à la courbe en + ∞ , et étudier la position relative de la courbe et de ( D ) sur ] 0 ; + ∞ [ .

Asymptotes et position relative

Difficile

On considère la fonction $f$ définie par $f (x) = 2 x + \frac{e ^{x}}{e ^{x} - 1}$ .

Vérifier que le domaine de définition est $D_{f} = R^{*}$ .
Calculer $x \to 0^{+} lim f (x)$ et $x \to 0^{-} lim f (x)$ , puis interpréter graphiquement.
Montrer que la droite $(D) : y = 2 x + 1$ est asymptote à la courbe en $+ \infty$ , et étudier la position relative de la courbe et de $(D)$ sur $] 0; + \infty [$ .

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1 Indice 1

Le domaine de définition dépend de l'annulation du dénominateur $e^x-1$.

2 Indice 2

Pour les limites en $0$, étudie séparément le signe de $e^x-1$ à gauche et à droite de $0$.

3 Indice 3

Pour l'asymptote, calcule $f(x)-(2x+1)$ et simplifie l'expression obtenue ; son signe donne la position relative de la courbe.

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