Optimisation : volume maximal d'une boîte

On dispose d'une feuille de carton carrée de côté $12$ cm. Pour fabriquer une boîte sans couvercle, on découpe à chaque coin un carré de côté $x$ (en cm), puis on relève les bords.

1. Justifier que $x$ appartient à l'intervalle $]0;6[$, puis exprimer le volume $V(x)$ de la boîte (en cm³) en fonction de $x$. Montrer que $$V(x)=4x^3-48x^2+144x.$$

2. Calculer $V^{\prime }(x)$ et montrer que $$V^{\prime }(x)=12(x-2)(x-6).$$

3. Étudier le signe de $V^{\prime }(x)$ sur $]0;6[$ et dresser le tableau de variations de $V$.

4. En déduire la valeur de $x$ qui rend le volume maximal, ainsi que ce volume maximal.