On considère la fonction f définie par f ( x ) = 3 x + 1 2 x . Déterminer D f puis calculer les limites de f aux bornes de D f . Étudier les variations de f sur D f .

Domaine, limites et variations d'une fonction avec racine et quotient

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie par $f (x) = \frac{2 x}{3 x + 1}$ .

Déterminer $D_{f}$ puis calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_{f}$ .
Étudier les variations de $f$ sur $D_{f}$ .

Indices

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1 Indice 1

Le domaine de $f$ est defini par la condition que l'expression sous la racine soit positive ou nulle : etudie le signe de $\dfrac{2x}{3x+1}$ avec un tableau de signes.

2 Indice 2

Pour les limites en $\pm\infty$, factorise numerateur et denominateur par $x$ pour trouver la limite du quotient sous la racine.

3 Indice 3

Pour les variations, pose $u(x)=\dfrac{2x}{3x+1}$, calcule $u'(x)$, puis utilise la formule de derivation de $\sqrt{u}$ : $f'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$.

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