Soit f ( x ) = x 3 − 3 a x + b ( a , b ∈ R , a > 0 ). Calculer f ′ ( x ) . Déterminer les extremums de f en fonction de a . Pour quelle(s) valeur(s) de x la tangente à la courbe est-elle parallèle à la droite d'équation y = 9 x ? Si de plus b = 2 et a = 1 , trouver l'équation de cette tangente.

Étude avec paramètre : tangente parallèle à une droite

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit $f (x) = x^{3} - 3 a x + b$ ( $a, b \in R$ , $a > 0$ ).

Calculer $f^{'} (x)$ . Déterminer les extremums de $f$ en fonction de $a$ .
Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la tangente à la courbe est-elle parallèle à la droite d'équation $y = 9 x$ ?
Si de plus $b = 2$ et $a = 1$ , trouver l'équation de cette tangente.

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1 Indice 1

Calcule $f'(x)=3x^2-3a$ et résous $f'(x)=0$ pour trouver les points critiques en fonction de $a$ (utilise le signe de $a$).

2 Indice 2

Pour la tangente parallèle à $y=9x$, cherche les valeurs de $x$ telles que la pente $f'(x)$ soit égale à $9$.

3 Indice 3

Avec $a=1$ et $b=2$, calcule $f(x)$ aux valeurs de $x$ trouvées, puis utilise l'équation de la tangente $y - f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)$.

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