Montrer que ∀ x ≥ 0 : sin ( x ) ≤ x . Montrer que ∀ x ≥ 0 : cos ( x ) ≥ 1 − 2 x 2 . En déduire que ∀ x ≥ 0 : sin ( x ) ≥ x − 6 x 3 .

Démonstration d'une inégalité par dérivation

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

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1 Indice 1

Pour chaque inegalite, introduis une fonction auxiliaire (par exemple $f(x)=x-\\sin(x)$) et etudie le signe de sa derivee.

2 Indice 2

Montre que la derivee de la fonction auxiliaire est positive sur $[0,+\\infty[$, ce qui prouve qu'elle est croissante, puis evalue-la en $0$.

3 Indice 3

Pour la question 3, construis une nouvelle fonction auxiliaire dont la derivee fait apparaitre le resultat de la question precedente.

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Léo peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

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