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Racines cubiques et triangle équilatéral

Difficile Inspiré BAC France
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Exercice inspiré d'un BAC France
Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On souhaite résoudre dans l'équation

1. Écrire sous forme exponentielle.

2. Déterminer les trois racines cubiques de sous forme exponentielle, puis donner leur forme algébrique.

3. On note , , les points d'affixes respectives ces trois racines. Montrer que le triangle est équilatéral et préciser le centre de son cercle circonscrit.

4. Soit la rotation de centre (origine) et d'angle . Montrer que envoie sur et sur .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour ecrire $-8i$ sous forme exponentielle, calcule d'abord son module $|-8i|$, puis determine son argument en te rappelant la position du nombre $-i$ sur le cercle trigonometrique.
2 Indice 2
Pour trouver les racines cubiques, cherche $z = \rho e^{i\varphi}$ tel que $z^3 = 8e^{-i\pi/2}$ : identifie le module en resolvant $\rho^3 = 8$, puis l'argument en resolvant $3\varphi = -\pi/2 + 2k\pi$ pour $k = 0, 1, 2$.
3 Indice 3
Pour la question 3, remarque que les trois racines ont le meme module, donc elles sont sur un meme cercle centre en l'origine ; pour la question 4, la rotation d'angle $2\pi/3$ et de centre $O$ s'ecrit $z \mapsto e^{i2\pi/3} z$, applique-la aux affixes trouvees.

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Léo peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

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