Soit z = cos 7 2 π + i sin 7 2 π = e i 7 2 π . On pose a = z + z 2 + z 4 et b = z 3 + z 5 + z 6 . Calculer la somme S = 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6 . En déduire que a + b = − 1 . Montrer que a × b = 2 , puis que Im ( a ) > 0 . En déduire que a = − 2 1 + i 2 7 et que b = a . Déterminer la valeur exacte de u = sin 7 π − sin 7 2 π − sin 7 4 π .

Racines septièmes de l'unité et somme trigonométrique

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit $z = cos \frac{2 π}{7} + i sin \frac{2 π}{7} = e^{i \frac{2 π}{7}}$ . On pose $a = z + z^{2} + z^{4}$ et $b = z^{3} + z^{5} + z^{6}$ .

1. Calculer la somme $S = 1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} + z^{5} + z^{6}$ .
2. En déduire que $a + b = - 1$ .
Montrer que $a \times b = 2$ , puis que $Im (a) > 0$ .
En déduire que $a = - \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}$ et que $b = \overline{a}$ .
Déterminer la valeur exacte de $u = sin \frac{π}{7} - sin \frac{2 π}{7} - sin \frac{4 π}{7}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour $S$, reconnais une somme de termes d'une suite geometrique de raison $z$ et utilise la formule $S=\dfrac{1-z^7}{1-z}$ en te rappelant que $z^7=1$.

2 Indice 2

Pour le produit $a\times b$, developpe puis utilise $z^7=1$ pour reduire les puissances superieures a 7, et reutilise la valeur de $S$.

3 Indice 3

Pour le signe de $\mathrm{Im}(a)$, exprime chaque terme comme un sinus et compare $\sin\frac{8\pi}{7}$ a $-\sin\frac{\pi}{7}$. Une fois $a$ et $b$ connus comme racines d'une equation du second degre, utilise-les pour calculer $u$ en le reliant a $\mathrm{Im}(a)$.

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