Fidélité client : chaîne de Markov à deux états et état stable

Une application mobile classe chaque utilisateur, semaine après semaine, en deux états : Actif (A) ou Inactif (I). Les données montrent que :

— un utilisateur actif une semaine reste actif la semaine suivante avec probabilité $0,7$, et devient inactif avec probabilité $0,3$ ;

— un utilisateur inactif une semaine redevient actif la semaine suivante avec probabilité $0,5$, et reste inactif avec probabilité $0,5$.

On représente l'état de la semaine $n$ par un vecteur ligne $X_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& i_n\end{array}\right)$, où $a_n$ et $i_n$ sont les probabilités d'être actif et inactif la semaine $n$. On a $X_{n+1}=X_{n}T$, où $T$ est la matrice de transition (lignes et colonnes dans l'ordre $A,I$).

1. Écrire la matrice de transition $T$.

2. Au départ, l'utilisateur est actif : $X_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)$. Calculer $X_1$ puis $X_2$.

3. On cherche un état stable $\pi =\left(\begin{array}{cc}a& i\end{array}\right)$ vérifiant $\pi T=\pi$ et $a+i=1$. Déterminer $a$ et $i$ sous forme de fractions.

4. Vérifier que cet état $\pi$ est bien invariant en calculant $\pi T$, puis interpréter le résultat.