Réseau d'amis : matrice d'adjacence et chemins de longueur 2

Quatre amis d'un réseau social sont représentés par les sommets A, B, C et D d'un graphe non orienté. Une arête entre deux sommets signifie que les deux personnes sont amies. Les amitiés sont :

$A-B$, $A-C$, $B-C$, $B-D$, $C-D$.

On ordonne les sommets dans l'ordre $A,B,C,D$.

1. Écrire la matrice d'adjacence $M$ de ce graphe.

2. Expliquer pourquoi la matrice $M$ est symétrique.

3. Calculer $M^2$.

4. Combien existe-t-il de chemins de longueur $2$ reliant $A$ à $D$ ? Préciser ce(s) chemin(s).

5. Que représente le coefficient diagonal situé à la ligne $B$ et à la colonne $B$ de $M^2$ ? Interpréter sa valeur.