Résolution d'une équation diophantienne à l'aide de Bézout et Gauss

On considère l'équation, d'inconnue le couple d'entiers relatifs $(x,y)$ :

$$(E):17x+5y=3.$$

1. Justifier que l'équation $(E)$ admet au moins une solution dans ${\mathbb{Z}}^2$.

2. On admet l'identité de Bézout $17\times (-2)+5\times 7=1$. En déduire une solution particulière $(x_0,y_0)$ de $(E)$.

3. En utilisant le théorème de Gauss, déterminer l'ensemble de toutes les solutions de $(E)$.

4. Déterminer la solution $(x,y)$ de $(E)$ pour laquelle $x$ est le plus petit entier positif possible.