On souhaite résoudre dans Z la congruence : ( C ) : 17 x ≡ 4 ( mod 26 ) . 1. À l'aide de l' algorithme d'Euclide , vérifier que PGCD ( 17 , 26 ) = 1 et en déduire que ( C ) admet des solutions. 2. En remontant l'algorithme d'Euclide, déterminer un couple ( u , v ) ∈ Z 2 tel que 17 u + 26 v = 1 . 3. En déduire l' inverse de 17 modulo 26 , c'est-à-dire un entier a vérifiant 17 a ≡ 1 ( mod 26 ) avec 0 ≤ a < 26 . 4. Résoudre la congruence ( C ) et donner l'ensemble de ses solutions.

Inverse de 17 modulo 26 et résolution d'une congruence

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

On souhaite résoudre dans $Z$ la congruence :

$(C) : 17 x \equiv 4 (mod 26) .$

1. À l'aide de l'algorithme d'Euclide, vérifier que $PGCD (17, 26) = 1$ et en déduire que $(C)$ admet des solutions.

2. En remontant l'algorithme d'Euclide, déterminer un couple $(u, v) \in Z^{2}$ tel que $17 u + 26 v = 1$ .

3. En déduire l'inverse de $17$ modulo $26$ , c'est-à-dire un entier $a$ vérifiant $17 a \equiv 1 (mod 26)$ avec $0 \leq a < 26$ .

4. Résoudre la congruence $(C)$ et donner l'ensemble de ses solutions.

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