Équation diophantienne 23x + 8y = 5 par Bézout et Gauss

On considère l'équation, d'inconnue le couple d'entiers relatifs $(x,y)$ :

$$(E):23x+8y=5.$$

1. Justifier que $(E)$ admet au moins une solution dans ${\mathbb{Z}}^2$.

2. On admet l'identité de Bézout $23\times (-1)+8\times 3=1$. En déduire une solution particulière $(x_0,y_0)$ de $(E)$.

3. À l'aide du théorème de Gauss, déterminer l'ensemble de toutes les solutions de $(E)$.

4. Déterminer la solution $(x,y)$ de $(E)$ pour laquelle $x$ est le plus petit entier strictement positif possible.