Puissances modulo 7 et système de congruences

Cet exercice combine le calcul de congruences et la résolution d'un système.

Partie A — Une grande puissance modulo 7.

1. Déterminer les restes de $4^1,4^2,4^3$ modulo $7$, puis établir que la suite des restes de $4^n$ modulo $7$ est périodique de période $3$.

2. En déduire le reste de la division euclidienne de $4^{2025}$ par $7$.

Partie B — Un système de congruences.

On cherche les entiers relatifs $x$ vérifiant :

$$(S):\{\begin{array}{l}x\equiv 3(\mathrm{mod}7)\\ x\equiv 5(\mathrm{mod}8)\end{array}$$

3. Justifier que, en posant $x=3+7t$, résoudre la seconde congruence revient à résoudre une congruence linéaire en $t$.

4. En déterminant l'inverse de $7$ modulo $8$, résoudre cette congruence en $t$, puis en déduire l'ensemble des solutions de $(S)$.