Équation diophantienne et problème de partage

Exercice 4 — Équation diophantienne et situation-problème (Niveau : Intermédiaire)

Un organisateur d'événements à Casablanca achète deux types de billets pour un festival : des billets à 35 € et des billets à 54 €. Il dépense exactement 1 € de moins que 1000 €, soit 999 € au total.

1. Montrer que l'on cherche les solutions entières positives de l'équation (E) : $35x+54y=999$, où x est le nombre de billets à 35 € et y le nombre de billets à 54 €.
2. Calculer $\text{pgcd}(35,54)$ et vérifier que l'équation (E) admet des solutions dans $\mathbb{Z}$.
3. Trouver une solution particulière $(x_0,y_0)\in {\mathbb{Z}}^2$ de (E), puis donner la solution générale dans $\mathbb{Z}$.
4. Déterminer toutes les solutions en entiers strictement positifs ($x>0$ et $y>0$). Combien y a-t-il de façons d'acheter les billets ?