Équation diophantienne et problème de billets — Situation concrète

Exercice 4 — Équation diophantienne : situation-problème (Niveau : Intermédiaire)

Un commerçant de Casablanca achète deux types d'articles : des articles de type A au prix de 35 dirhams l'unité et des articles de type B au prix de 56 dirhams l'unité. Il dépense en tout 1 050 dirhams.

1. Montrer que l'équation 35x + 56y = 1050, où x et y désignent les nombres d'articles de chaque type achetés, admet des solutions entières. (On calculera pgcd(35, 56).)
2. Trouver une solution particulière (x₀, y₀) de cette équation.
3. Donner l'ensemble de toutes les solutions entières de cette équation.
4. Le commerçant achète au moins 1 article de chaque type. Déterminer toutes les solutions entières naturelles (x $\ge$ 1, y $\ge$ 1) et interpréter.