La suite 2^n + 3^n + 6^n − 1 et les nombres premiers

Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $a_n=2^n+3^n+6^n-1$.

1. a) Vérifier que $a_n$ est pair pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

   b) Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $a_n\equiv 0[3]$.

2. Soit $p$ un nombre premier tel que $p>3$.

   1. Montrer que $2^{p-1}\equiv 1[p]$, $3^{p-1}\equiv 1[p]$ et $6^{p-1}\equiv 1[p]$.

   2. Montrer que $p$ divise $a_{p-2}$.

3. Montrer que pour tout nombre premier $q$, il existe un entier $n⩾1$ tel que $a_n\wedge q=q$.