Équation $143u-100v=1$ et congruence $x^{143}\equiv 3\ [101]$

Partie I

Résoudre dans ${\mathbb{Z}}^2$ l'équation $(E):143u-100v=1$.

Partie II

On considère dans $\mathbb{N}$ l'équation $(F):x^{143}\equiv 3[101]$. Soit $x$ une solution de $(F)$.

1. a) Montrer que $101$ est premier et que $x\wedge 101=1$.

   b) Montrer que $x^{100}\equiv 1[101]$ et que $x\equiv 3^7[101]$ (on remarquera que $143\times 7=1+100\times 10$).

2. Montrer réciproquement que si un entier naturel $x$ vérifie $x\equiv 3^7[101]$, alors $x$ est solution de $(F)$.

3. En déduire que les solutions de $(F)$ sont les entiers de la forme $66+101k$, $k\in \mathbb{N}$.