Radioactivité — mélange de deux isotopes

Un échantillon contient à $t=0$ deux isotopes radioactifs A et B :

• Isotope A : quantité initiale $N_A=100$ unités, constante de désintégration ${\lambda }_A=\ln 2/10$ (demi-vie 10 ans).
• Isotope B : quantité initiale $N_B=200$ unités, constante de désintégration ${\lambda }_B=\ln 2/30$ (demi-vie 30 ans).

La quantité totale est $Q(t)=100e^{-{\lambda }_{A}t}+200e^{-{\lambda }_{B}t}$.

1. Calculer $Q(0)$, $Q(30)$ et $\underset{t\to +\infty }{\lim }Q(t)$.
2. Montrer que $Q$ est strictement décroissante sur $[0,+\infty [$.
3. Déterminer, en résolvant une équation, l'instant $t^{\ast }$ où $Q(t^{\ast })=150$ (on se ramènera à une équation du second degré en posant $u=e^{-{\lambda }_{A}t/3}$... ou toute autre substitution adaptée). Donner une valeur approchée à l'unité.