Désintégration radioactive, demi-vie et datation

Un échantillon contient initialement $N_0$ noyaux d'un isotope radioactif. Le nombre de noyaux non encore désintégrés au bout d'un temps $t$ (en années) est donné par :

$$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t},t\ge 0,$$

où $\lambda >0$ est une constante caractéristique de l'isotope.

1. La demi-vie $\tau$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux se sont désintégrés. Montrer que $\tau$ ne dépend pas de $N_0$ et vérifie $\tau =\frac{\ln (2)}{\lambda }$.

2. Le carbone 14 a une demi-vie d'environ $\tau =5730$ ans. En déduire la valeur de $\lambda$ (arrondir à $10^{-5}$).

3. Montrer que, pour tout $t\ge 0$, on peut écrire $N(t)=N_0\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/\tau }$.

4. Lors d'une datation, on mesure dans un fragment d'os qu'il ne reste que $30\%$ du carbone 14 initial. Déterminer l'âge de l'os (arrondir à la centaine d'années).