Croissance d'un capital et échelle logarithmique des séismes

Partie A — Placement financier.

Un capital de $5000$ € est placé sur un compte rapportant $4\%$ d'intérêts composés par an. Le capital disponible au bout de $n$ années (avec $n$ entier) est $C(n)=5000\times 1,04^n$.

1. Calculer le capital disponible au bout de $5$ ans (arrondir au centime).

2. Au bout de combien d'années entières le capital dépasse-t-il pour la première fois $7000$ € ? On résoudra l'inéquation $1,04^n>1,4$ à l'aide du logarithme.

Partie B — Échelle de magnitude.

Sur l'échelle de Richter, l'énergie $E$ (en joules) libérée par un séisme de magnitude $M$ vérifie la relation ${\log }_{10}(E)=4,8+1,5M$, où ${\log }_{10}$ désigne le logarithme décimal.

3. Deux séismes ont des magnitudes $M_1=5$ et $M_2=7$. Montrer que le rapport des énergies $\frac{E_2}{E_1}$ ne dépend pas de la constante $4,8$, puis calculer sa valeur exacte sous la forme d'une puissance de $10$.