Intégrale d'une fonction exponentielle, aire et valeur moyenne

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2+e^x$.

1. Déterminer une primitive $F$ de f sur $\mathbb{R}$.

2. Calculer l'intégrale $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième.

3. Justifier que f est positive sur $[0;1]$, puis en déduire l'aire $\mathcal{A}$, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.

4. Déterminer la valeur moyenne $m$ de f sur l'intervalle $[0;1]$.