Aire entre deux courbes et coût supplémentaire cumulé

Partie A — Aire entre deux courbes.

On considère les fonctions f et g définies sur $[0;2]$ par $$f(x)=2x\text{et}g(x)=x^2.$$

1. Étudier le signe de $f(x)-g(x)$ sur $[0;2]$ et préciser quelle courbe est au-dessus de l'autre sur cet intervalle.

2. Calculer, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre les deux courbes sur $[0;2]$.

Partie B — Coût supplémentaire cumulé.

Une usine fabrique un composant. Pour une quantité $x$ (en milliers de pièces), avec $x\in [1;3]$, le coût marginal, exprimé en milliers d'euros par millier de pièces, est modélisé par :

$$C^{\prime }(x)=2x-\frac{6}{x}.$$

3. Calculer le coût supplémentaire $\Delta C=\underset{1}{\overset{3}{\int }}{C}^{\prime }(x)dx$ engendré lorsque la production passe de $1$ à $3$ milliers de pièces. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième.

4. Déterminer la valeur moyenne du coût marginal sur $[1;3]$.