Niveau sonore : dérivée de $\ln u$ et point d'inflexion

En acoustique, on modélise une grandeur liée au niveau sonore perçu par la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=\ln \left(x^2+1\right),$$ où $x$ représente un paramètre réglable du dispositif.

1. Justifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$, puis calculer $f^{\prime }(x)$.

2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. Montrer que pour tout réel $x$ : $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2\left(1-x^2\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}.$$

4. Étudier la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$ et déterminer les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe représentative de $f$.