Convexité et inégalité — la tangente est en-dessous

Soit $f(x)=e^x$.

1. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$ et déduire la convexité.
2. Rappeler la propriété géométrique d'une fonction convexe par rapport à ses tangentes.
3. En appliquant à la tangente en $x=0$, démontrer $e^x\ge 1+x$ pour tout $x$.