Composée et dérivée : f∘g avec une exponentielle — niveau intermédiaire

On pose $g(x)=\sqrt{x}$ et $f(u)=e^{2u-1}$.

1. Donner le domaine de $h=f\circ g$ et exprimer $h(x)$.
2. Calculer $h^{\prime }(x)$ par la formule $(f\circ g{)}^{\prime }=g^{\prime }\cdot f^{\prime }(g)$.
3. Étudier les variations de $h$ sur $]0;+\infty [$.
4. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (h(x))}{x}$.