Étude complète de $(x^2-3)e^{x}$ : variations et convexité

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$h(x)=(x^2-3)e^x.$$

1. Calculer $h^{\prime }(x)$ et montrer que $h^{\prime }(x)=(x+3)(x-1)e^x$.

2. Étudier le signe de $h^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variation de $h$ sur $\mathbb{R}$.

3. Calculer la dérivée seconde et montrer que $h^{\prime \prime }(x)=(x^2+4x-1)e^x$.

4. Étudier la convexité de $h$ et déterminer les abscisses des points d'inflexion de sa courbe.