🎛️ Vois la spirale d'or se construire à partir des rectangles de Fibonacci
Chaque rectangle a un côté égal à un nombre de Fibonacci. La spirale s'inscrit dans ces rectangles successifs.
Dernier Fn
21
Fn / Fn−1
1.6154
Cible : φ
1.6180339…
8 rectangles : F₈ = 21. Le ratio Fn/Fn−1 = 1.6154 s'approche de φ = 1.618…
🐰 1202 : un problème de lapins qui a changé l'histoire
Léonard de Pise (1170-1250), surnommé Fibonacci (« fils de Bonacci »), est un marchand italien. Lors d'un voyage en Algérie, il découvre les chiffres arabes (0, 1, 2, …, 9) et l'arithmétique positionnelle. En 1202, il publie Liber Abaci, livre qui introduit ces chiffres en Europe. Il y propose un problème devenu mythique :
Le problème des lapins (1202)
On place un couple de lapins dans un enclos. Chaque mois, tout couple existant donne naissance à un
nouveau couple, qui devient lui-même fertile au bout d'un mois.
Combien de couples de lapins au bout de 12 mois ?
Compte mois par mois :
- Mois 0 : 1 couple (jeune)
- Mois 1 : 1 couple (devient adulte)
- Mois 2 : 2 couples (1 adulte + 1 nouveau)
- Mois 3 : 3 couples (2 adultes + 1 nouveau)
- Mois 4 : 5 couples
- Mois 5 : 8 couples
- … mois 12 : 233 couples
⚡ La règle de récurrence : chaque terme = somme des deux précédents
Fn+1 = Fn + Fn−1 avec F0=0, F1=1
Tu obtiens : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …
Cette suite n'a rien d'unique au départ. Ce qui la rend extraordinaire, c'est qu'on la retrouve partout dans la nature : pétales de fleurs (3, 5, 8, 13, 21, 34), spirales de tournesols (34 dans un sens, 55 dans l'autre), pommes de pin (8 et 13 spirales), ananas (5, 8, 13), arrangement des feuilles autour d'une tige (phyllotaxie). Pourquoi ?
💎 Le miracle : Fn+1 / Fn → φ (le nombre d'or)
Calcule les rapports successifs :
- 1/1 = 1
- 2/1 = 2
- 3/2 = 1.5
- 5/3 ≈ 1.667
- 8/5 = 1.6
- 13/8 = 1.625
- 21/13 ≈ 1.615
- 34/21 ≈ 1.619
- 55/34 ≈ 1.6176
- … → φ ≈ 1.6180339887…
Le rapport tend vers le nombre d'or φ, solution positive de x² = x + 1 :
φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887498948…
📐 La spirale d'or : géométriser Fibonacci
Construis des carrés dont les côtés sont des nombres de Fibonacci : 1×1, puis un autre 1×1 à côté, puis un 2×2 en dessous, puis un 3×3 à droite, puis un 5×5, un 8×8, etc. En les empilant en spirale, tu obtiens un rectangle d'or géant, dont les côtés sont Fn et Fn+1.
Dans chaque carré, trace un quart de cercle. Tous ces quarts de cercle se raccordent en une courbe continue : la spirale d'or. C'est cette courbe qu'on retrouve dans :
- Le coquillage du nautilus (parfait exemple naturel)
- Les bras des galaxies spirales (M51, NGC 6240…)
- La forme des ouragans vus du ciel
- La disposition des graines dans un tournesol
- Les œuvres d'artistes : Botticelli, Salvador Dalí, Le Corbusier
🧮 La formule de Binet : Fibonacci en un seul calcul
Il existe une formule explicite (non récursive) qui donne Fn directement :
Fn = φn − ψn√5 avec ψ = (1 − √5) / 2
Étonnant : la formule contient des irrationnels (φ, ψ, √5), pourtant elle produit toujours un entier. Démonstration au programme de spé maths en France et accessible en exercice de récurrence au 2BAC SM.
🎓 Comment Fibonacci tombe au BAC SM
- Suite récurrente linéaire d'ordre 2 : un+1 = a·un + b·un−1. L'équation caractéristique x² = ax + b donne les racines φ et ψ, qui apparaissent dans Binet.
- Récurrence forte : démontrer une propriété sur Fn nécessite souvent de supposer la propriété pour n−1 ET n−2. Classique.
- Limite de quotient de termes : un grand classique du bac SM (« montrer que la suite vn = Fn+1/Fn converge vers… »).
- Calcul matriciel : Fn s'obtient en élevant une matrice 2×2 à la puissance n. Lien direct avec le chapitre matrices.
🌌 Les propriétés magiques de la suite
- Identité de Catalan : Fn² − Fn+1·Fn−1 = (−1)n+1
- Identité de Cassini : Fn+1·Fn−1 − Fn² = (−1)n — un nombre toujours égal à ±1.
- Somme : F1 + F2 + … + Fn = Fn+2 − 1.
- Divisibilité : pgcd(Fm, Fn) = Fpgcd(m, n). Magnifique propriété arithmétique.