Statistiques — Résumé de cours

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Série statistique

Une série statistique est un ensemble de données recueillies sur une population. Chaque individu possède une valeur d'un caractère (la taille des élèves, le nombre de frères et sœurs, etc.). Lorsque le caractère est un nombre, on parle de caractère quantitatif. Par exemple, les notes d'une classe à un contrôle forment une série statistique.

Effectifs et fréquences

L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série. L'effectif total $N$ est le nombre total d'individus. La fréquence d'une valeur est le quotient $f = \frac{effectif}{N}$ . Une fréquence est un nombre compris entre $0$ et $1$ ; elle peut s'exprimer en pourcentage. Par exemple, si $6$ élèves sur $30$ ont eu $12$ , la fréquence est $\frac{6}{30} = 0, 2$ , soit $20%$ .

Indicateurs de position : la moyenne

La moyenne $\overline{x}$ d'une série résume celle-ci par une valeur centrale. On l'obtient en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par leur nombre. Pour des notes $8$ , $12$ , $14$ , $16$ : $\overline{x} = \frac{8 + 12 + 14 + 16}{4} = 12, 5$ . La moyenne tient compte de toutes les valeurs.

Indicateurs de position : la médiane

La médiane $M e$ est une valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales. Contrairement à la moyenne, la médiane n'est pas sensible aux valeurs extrêmes.

La moyenne pondérée

Quand des valeurs $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{p}$ apparaissent avec des effectifs (ou coefficients) $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{p}$ , on calcule la moyenne pondérée : $\overline{x} = \frac{n _{1} x _{1} + n _{2} x _{2} + \dots + n _{p} x _{p}}{n _{1} + n _{2} + \dots + n _{p}}$ . Par exemple, avec un devoir noté $10$ (coefficient $1$ ) et un examen noté $14$ (coefficient $3$ ) : $\overline{x} = \frac{1 \times 10 + 3 \times 14}{1 + 3} = \frac{52}{4} = 13$ .

Indicateurs de dispersion : l'étendue

Les indicateurs de dispersion mesurent à quel point les valeurs sont éloignées les unes des autres. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $\overset{e}{ˊ} tendue = x_{m a x} - x_{m i n}$ . Pour des notes allant de $6$ à $18$ , l'étendue vaut $18 - 6 = 12$ . C'est un indicateur simple mais très sensible aux valeurs extrêmes.

Indicateurs de dispersion : les quartiles

Le premier quartile $Q_{1}$ est la plus petite valeur de la série ordonnée telle qu'au moins $25%$ des données lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile $Q_{3}$ est la plus petite valeur telle qu'au moins $75%$ des données lui soient inférieures ou égales. La médiane $M e$ joue le rôle de second quartile.

Écart interquartile

L'écart interquartile est la différence $Q_{3} - Q_{1}$ . Il mesure la dispersion des valeurs centrales de la série, c'est-à-dire les $50%$ de données situées autour de la médiane. Contrairement à l'étendue, il n'est pas perturbé par les valeurs extrêmes, ce qui en fait un indicateur robuste.

Interprétation des indicateurs

Pour décrire une série, on associe un indicateur de position (moyenne ou médiane) à un indicateur de dispersion (étendue ou écart interquartile). Une médiane de $13$ avec un écart interquartile de $4$ signifie que la moitié des élèves ont une note comprise dans un intervalle de $4$ points autour du centre : la série est plutôt regroupée.

Le diagramme en boîte

Le diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) représente visuellement la répartition d'une série. La boîte va de $Q_{1}$ à $Q_{3}$ et est traversée par un trait à la médiane $M e$ . Les moustaches s'étendent jusqu'au minimum et au maximum. Il permet de comparer rapidement plusieurs séries.

Linéarité de la moyenne

La moyenne possède une propriété de linéarité très utile. Si on ajoute un même nombre $b$ à toutes les valeurs, la moyenne augmente de $b$ . Si on multiplie toutes les valeurs par un même nombre $a$ , la moyenne est multipliée par $a$ . Ainsi, si chaque note de moyenne $11$ est augmentée de $2$ points, la nouvelle moyenne est $11 + 2 = 13$ .

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Moyenne pondérée d'une série de notes

Énoncé. Au cours d'un trimestre, un élève a obtenu les notes suivantes, affectées de coefficients : un devoir noté $12$ (coefficient $1$ ), un contrôle noté $9$ (coefficient $2$ ), un devoir surveillé noté $15$ (coefficient $3$ ) et une interrogation notée $8$ (coefficient $2$ ). Calculer la moyenne pondérée de cet élève sur le trimestre.

Solution.

Principe de la moyenne pondérée. La moyenne pondérée s'obtient en additionnant chaque note multipliée par son coefficient, puis en divisant ce total par la somme des coefficients. Si l'on note $\overline{x}$ cette moyenne, alors $\overline{x} = \frac{12 \times 1 + 9 \times 2 + 15 \times 3 + 8 \times 2}{1 + 2 + 3 + 2}$ .
Calcul du numérateur. On effectue d'abord chaque produit : $12 \times 1 = 12$ , puis $9 \times 2 = 18$ , puis $15 \times 3 = 45$ , et enfin $8 \times 2 = 16$ . La somme vaut $12 + 18 + 45 + 16 = 91$ .
Calcul du dénominateur. On additionne tous les coefficients : $1 + 2 + 3 + 2 = 8$ .
Conclusion. On obtient donc $\overline{x} = \frac{91}{8} = 11, 375$ . La moyenne pondérée du trimestre est $\overline{x} = 11, 375$ , soit environ $11, 4$ . On remarque qu'elle est tirée vers le haut par la note $15$ , dont le coefficient $3$ est le plus fort.

Exemple 2 — Médiane, quartiles et écart interquartile d'une série

Énoncé. On relève les durées (en minutes) de $11$ trajets domicile-lycée : $4; 6; 7; 7; 9; 10; 12; 13; 15; 18; 20$ . Déterminer la médiane, le premier quartile $Q_{1}$ et le troisième quartile $Q_{3}$ , puis calculer l'étendue et l'écart interquartile en interprétant ces résultats.

Solution.

Vérification de l'ordre et de l'effectif. La série est déjà rangée dans l'ordre croissant et comporte $N = 11$ valeurs.
Médiane. L'effectif $N = 11$ est impair, donc la médiane est la valeur de rang $\frac{N + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6$ . La $6^{e}$ valeur de la série est $10$ , donc la médiane est $Me = 10$ minutes. Cela signifie qu'au moins la moitié des trajets durent au plus $10$ minutes.
Premier quartile $Q_{1}$ . On calcule $\frac{N}{4} = \frac{11}{4} = 2, 75$ . Ce nombre n'étant pas entier, on prend le rang entier immédiatement supérieur, soit le rang $3$ . La $3^{e}$ valeur est $7$ , donc $Q_{1} = 7$ minutes : au moins un quart des trajets durent au plus $7$ minutes.
Troisième quartile $Q_{3}$ . On calcule $\frac{3 N}{4} = \frac{33}{4} = 8, 25$ . Le rang entier immédiatement supérieur est $9$ . La $9^{e}$ valeur est $15$ , donc $Q_{3} = 15$ minutes : au moins trois quarts des trajets durent au plus $15$ minutes.
Étendue. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $20 - 4 = 16$ minutes. Les durées s'étalent donc sur une plage de $16$ minutes.
Écart interquartile. L'écart interquartile vaut $Q_{3} - Q_{1} = 15 - 7 = 8$ minutes. La moitié « centrale » des trajets (entre $Q_{1}$ et $Q_{3}$ ) est ainsi contenue dans un intervalle de $8$ minutes, ce qui mesure la dispersion en éliminant les valeurs extrêmes.

Exemple 3 — Moyenne et quartiles à partir d'un tableau d'effectifs

Énoncé. On a relevé le nombre d'absences hebdomadaires des $25$ élèves d'une classe. Le tableau d'effectifs est le suivant : $0$ absence pour $4$ élèves, $1$ absence pour $7$ élèves, $2$ absences pour $6$ élèves, $3$ absences pour $5$ élèves et $4$ absences pour $3$ élèves. Calculer la moyenne, déterminer la médiane et les quartiles, puis donner l'écart interquartile.

Solution.

Effectif total. On additionne les effectifs : $4 + 7 + 6 + 5 + 3 = 25$ , donc $N = 25$ élèves.
Moyenne. On multiplie chaque valeur par son effectif puis on divise par $N$ : $\overline{x} = \frac{0 \times 4 + 1 \times 7 + 2 \times 6 + 3 \times 5 + 4 \times 3}{25}$ . Le numérateur vaut $0 + 7 + 12 + 15 + 12 = 46$ , donc $\overline{x} = \frac{46}{25} = 1, 84$ absence en moyenne par élève.
Effectifs cumulés croissants. On cumule les effectifs : jusqu'à $0$ on a $4$ élèves, jusqu'à $1$ on a $4 + 7 = 11$ élèves, jusqu'à $2$ on a $11 + 6 = 17$ élèves, jusqu'à $3$ on a $17 + 5 = 22$ élèves, jusqu'à $4$ on a $22 + 3 = 25$ élèves.
Médiane. L'effectif $N = 25$ est impair, donc la médiane est la valeur de rang $\frac{N + 1}{2} = 13$ . D'après les effectifs cumulés, les rangs $12$ à $17$ correspondent à la valeur $2$ (le cumul passe de $11$ à $17$ ). La $1 3^{e}$ valeur est donc $2$ : $Me = 2$ absences.
Quartiles. Pour $Q_{1}$ : $\frac{N}{4} = \frac{25}{4} = 6, 25$ , on prend le rang $7$ . Les rangs $5$ à $11$ correspondent à la valeur $1$ , donc $Q_{1} = 1$ . Pour $Q_{3}$ : $\frac{3 N}{4} = \frac{75}{4} = 18, 75$ , on prend le rang $19$ . Les rangs $18$ à $22$ correspondent à la valeur $3$ , donc $Q_{3} = 3$ .
Étendue et écart interquartile. L'étendue vaut $4 - 0 = 4$ absences. L'écart interquartile vaut $Q_{3} - Q_{1} = 3 - 1 = 2$ absences. La moitié centrale des élèves a donc entre $1$ et $3$ absences, et cette dispersion centrale se mesure par un écart de seulement $2$ absences, ce qui traduit une classe assez homogène.

🔑 Formules clés à retenir

Moyenne (simple) : $\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{N}}{N}$
Moyenne pondérée : $\overline{x} = \frac{n _{1} x _{1} + n _{2} x _{2} + \dots + n _{p} x _{p}}{n _{1} + n _{2} + \dots + n _{p}}$
Fréquence : $f = \frac{effectif}{N}$
Médiane : valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés de même effectif
Premier quartile $Q_{1}$ : plus petite valeur telle qu'au moins $25%$ des données lui soient $\leq$
Troisième quartile $Q_{3}$ : plus petite valeur telle qu'au moins $75%$ des données lui soient $\leq$
Étendue : $x_{m a x} - x_{m i n}$
Écart interquartile : $Q_{3} - Q_{1}$

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Concepts interactifs liés

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Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Médiane vs moyenne. La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ; une seule très grande valeur la tire vers le haut. La médiane, elle, n'en est pas affectée. Pour des salaires ou des séries déséquilibrées, la médiane décrit souvent mieux la situation typique.
Ordonner avant tout. Médiane et quartiles n'ont de sens que sur une série ordonnée. Oublier de ranger les valeurs dans l'ordre croissant est l'erreur la plus fréquente.
Position des quartiles. Pour $Q_{1}$ , on calcule $\frac{N}{4}$ (et non $\frac{N}{2}$ ). Si ce nombre n'est pas entier, on arrondit au rang supérieur ; ne jamais arrondir au plus proche.
$Q_{1}$ et $Q_{3}$ sont des valeurs de la série (avec la convention du lycée), pas des moyennes : on lit directement la valeur au bon rang.
Ne pas confondre fréquence et effectif. Une fréquence est toujours comprise entre $0$ et $1$ ; un effectif est un entier positif.
Étendue ≠ écart interquartile. L'étendue utilise les extrêmes ( $max - min$ ) ; l'écart interquartile ne porte que sur les $50%$ centraux ( $Q_{3} - Q_{1}$ ).

Statistiques — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

20 exercices

Moyenne des notes de 5 élèves

Facile

Énoncé

Dans une classe de 5 élèves, les notes en mathématiques sont les suivantes : 12, 14, 16, 10, 18. Calcule la moyenne des notes.

Ma réponse

Note	6	10	12	15	18
Effectif	3	7	10	6	4

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Effectifs et fréquences

Indicateurs de position : la moyenne

Indicateurs de position : la médiane

La moyenne pondérée

Indicateurs de dispersion : l'étendue

Indicateurs de dispersion : les quartiles

Écart interquartile

Interprétation des indicateurs

Le diagramme en boîte

Linéarité de la moyenne

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Moyenne pondérée d'une série de notes

Exemple 2 — Médiane, quartiles et écart interquartile d'une série

Exemple 3 — Moyenne et quartiles à partir d'un tableau d'effectifs

🔑 Formules clés à retenir

Concepts interactifs liés

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

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Exercices Faciles

Moyenne des notes de 5 élèves

Effectifs et Fréquences

Calcul de l'Étendue

Fréquences cumulées des fruits préférés

Moyenne des notes au dernier examen

Moyenne des notes d'une classe de 5

Mode d'une série de notes

Fréquences en % des boissons préférées

Étendue des âges à un tournoi à Marrakech

Calcul de la médiane

Couleur préférée la plus fréquente

Fréquence du thé dans une enquête sur 20 personnes

Effectifs et fréquences

Calculer la moyenne

Médiane et mode

Heures de jeux vidéo : moyenne, médiane, étendue et mode

Buts marqués par match : moyenne, médiane, étendue et mode

Médiane et quartiles

Moyenne et écart-type

Notes d'un contrôle : moyenne, médiane et étendue

Exercices Intermédiaires

Médiane d'un Ensemble

Variance et Écart-type

Quartiles d'une série

Moyenne des données groupées

Variance et écart-type

Variance de 4 notes d'examen

Étendue des températures sur une semaine

Variance des notes de 6 étudiants

Coefficient de variation

Corrélation linéaire simple

Quartiles et boîte à moustaches

Nombre de SMS : série donnée par un tableau d'effectifs

Nombre de livres lus : série donnée par un tableau d'effectifs

Boîte à moustaches

Comparaison de deux séries statistiques

Temps de trajet : quartiles et écart interquartile

Exercices Difficiles

Problème de Répartition des Notes

Problème concret de fréquence

Analyse de données groupées

Problème concret avec des données groupées

Droite de régression (moindres carrés)

Population et échantillonnage

Application économique — indice et régression

Comparer deux séries

Fréquences cumulées croissantes des revenus de 50 ménages

Valeur manquante à partir de la moyenne, puis quartiles

Comparaison de deux séries à l'aide des indicateurs

Temps de course : valeur manquante à partir de la moyenne, puis quartiles

Série avec effectifs — moyenne pondérée

Valeur manquante et contrainte sur la moyenne

Exercices supplémentaires

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