Géométrie repérée — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Le repère du plan

Un repère du plan est constitué d'un point d'origine $O$ et de deux axes (l'axe des abscisses, horizontal, et l'axe des ordonnées, vertical). On le note $(O; I, J)$ ou $(O; i, j)$ . Quand les deux axes sont perpendiculaires, le repère est orthogonal ; s'ils ont en plus la même unité, il est orthonormé. Les calculs de distance ne sont valables que dans un repère orthonormé.

Coordonnées d'un point

Tout point $M$ du plan est repéré par un couple de nombres $(x; y)$ : $x$ est son abscisse et $y$ son ordonnée. On écrit $M (x; y)$ . Par exemple, le point $A (3; - 2)$ a pour abscisse $3$ et pour ordonnée $- 2$ . L'origine est $O (0; 0)$ .

Milieu d'un segment

Le milieu $M$ d'un segment $[A B]$ est le point situé à égale distance de $A$ et de $B$ . Ses coordonnées sont la moyenne des coordonnées de $A$ et de $B$ . Avec $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ , on a $x_{M} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ et $y_{M} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2}$ . Exemple : milieu de $A (1; 3)$ et $B (5; 7)$ est $M (3; 5)$ .

Distance entre deux points

Dans un repère orthonormé, la distance entre $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ se calcule grâce au théorème de Pythagore : $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ . Exemple : pour $A (1; 2)$ et $B (4; 6)$ , $A B = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ .

Équation de droite $y = m x + p$

Toute droite non verticale admet une équation de la forme $y = m x + p$ , appelée équation réduite. Un point $M (x; y)$ appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient cette égalité. Les droites verticales ont une équation de la forme $x = c$ (elles n'ont pas de coefficient directeur).

Coefficient directeur

Dans $y = m x + p$ , le nombre $m$ est le coefficient directeur (ou pente) de la droite. Il mesure l'inclinaison : si $m > 0$ la droite monte, si $m < 0$ elle descend, si $m = 0$ elle est horizontale. Pour deux points $A$ et $B$ de la droite, $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ .

Ordonnée à l'origine

Dans $y = m x + p$ , le nombre $p$ est l'ordonnée à l'origine. C'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées, c'est-à-dire le point de coordonnées $(0; p)$ . En effet, pour $x = 0$ , on obtient $y = p$ .

Droites parallèles

Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Ainsi, $y = 2 x + 1$ et $y = 2 x - 5$ sont parallèles car $m = 2$ dans les deux cas. Si en plus elles ont le même $p$ , elles sont confondues.

Appartenance d'un point à une droite

Pour savoir si un point $M (x; y)$ appartient à une droite d'équation $y = m x + p$ , on remplace $x$ et $y$ par les coordonnées du point et on vérifie l'égalité. Exemple : $A (2; 5)$ appartient-il à $y = 2 x + 1$ ? On calcule $2 \times 2 + 1 = 5$ : l'égalité est vraie, donc oui.

Intersection de deux droites

Le point d'intersection de deux droites a des coordonnées qui vérifient les deux équations en même temps. On résout le système formé par les deux équations. Si les droites ont le même coefficient directeur (parallèles), il n'y a pas de point d'intersection (sauf si elles sont confondues).

Alignement de points

Trois points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés s'ils appartiennent à une même droite. On peut le vérifier en comparant les coefficients directeurs : si le coefficient directeur de $(A B)$ est égal à celui de $(A C)$ , alors les points sont alignés.

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Milieu et distance entre deux points

Énoncé. Dans un repère orthonormé, on considère les points $A (- 3; 2)$ et $B (5; - 4)$ . Déterminer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[A B]$ , puis calculer la distance $A B$ .

Solution.

Le milieu $I$ d'un segment $[A B]$ a pour coordonnées la moyenne des coordonnées de $A$ et de $B$ : $x_{I} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2} et y_{I} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2} .$
On remplace par les valeurs : $x_{I} = \frac{- 3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1, y_{I} = \frac{2 + ( - 4 )}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1.$ Donc $I (1; - 1)$ .
Pour la distance, on utilise la formule dans un repère orthonormé : $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} .$
On calcule chaque différence : $x_{B} - x_{A} = 5 - (- 3) = 8$ et $y_{B} - y_{A} = - 4 - 2 = - 6$ . Puis : $A B = 8^{2} + (- 6)^{2} = 64 + 36 = 100 = 10.$
Vérification. Le milieu $I$ doit être à égale distance de $A$ et de $B$ . On a $I A = (- 3 - 1)^{2} + (2 - (- 1))^{2} = 16 + 9 = 25 = 5$ et $I B = (5 - 1)^{2} + (- 4 - (- 1))^{2} = 16 + 9 = 5$ . On retrouve bien $I A = I B = \frac{A B}{2} = 5$ . ✓

Exemple 2 — Équation d'une droite passant par deux points

Énoncé. Déterminer l'équation réduite de la droite $(A B)$ passant par les points $A (1; 3)$ et $B (4; 9)$ .

Solution.

La droite $(A B)$ n'est pas verticale car $x_{A} \neq = x_{B}$ : elle admet une équation réduite de la forme $y = m x + p$ , où $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine.
On calcule le coefficient directeur : $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2.$
L'équation est donc de la forme $y = 2 x + p$ . On détermine $p$ en utilisant le fait que $A (1; 3)$ appartient à la droite : ses coordonnées vérifient l'équation. $3 = 2 \times 1 + p ⟺ 3 = 2 + p ⟺ p = 1.$
L'équation réduite de $(A B)$ est : $y = 2 x + 1.$
Vérification. On contrôle avec le point $B (4; 9)$ : $2 \times 4 + 1 = 8 + 1 = 9 = y_{B}$ . ✓ Le point $B$ appartient bien à la droite trouvée.

Exemple 3 — Montrer un alignement de trois points

Énoncé. On donne les points $A (- 2; 1)$ , $B (1; 5)$ et $C (4; 9)$ . Montrer que les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

Solution.

Trois points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $A B$ et $A C$ sont colinéaires. On commence par déterminer leurs coordonnées.
On calcule les coordonnées des vecteurs (différence des coordonnées : extrémité moins origine) : $A B (1 - (- 2); 5 - 1) = (3; 4), A C (4 - (- 2); 9 - 1) = (6; 8) .$
Deux vecteurs $u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : $x y^{'} - x^{'} y = 0$ . On l'applique : $det (A B, A C) = 3 \times 8 - 6 \times 4 = 24 - 24 = 0.$
Le déterminant est nul, donc $A B$ et $A C$ sont colinéaires : les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.
Vérification. On remarque que $A C = (6; 8) = 2 \times (3; 4) = 2 A B$ : le vecteur $A C$ est exactement le double de $A B$ , ce qui confirme la colinéarité et donc l'alignement. ✓

🔑 Formules clés à retenir

Milieu de $[A B]$ : $(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$
Distance (repère orthonormé) : $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
Coefficient directeur de $(A B)$ : $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ (avec $x_{A} \neq = x_{B}$ )
Équation réduite d'une droite non verticale : $y = m x + p$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Ne pas oublier le repère orthonormé pour la formule de la distance : dans un repère quelconque, elle est fausse.
Attention à l'ordre dans les soustractions du coefficient directeur : prendre $\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ et toujours respecter le même ordre au numérateur et au dénominateur.
Piège de la division par zéro : si $x_{A} = x_{B}$ , la droite est verticale, le coefficient directeur n'existe pas et l'équation est de la forme $x = c$ .
Milieu = moyenne, pas différence : on additionne les coordonnées et on divise par $2$ , on ne soustrait jamais.
Pour vérifier une appartenance, ne pas se contenter d'un calcul approché : il faut une égalité exacte entre les deux membres.
Ne pas confondre coefficient directeur $m$ (inclinaison) et ordonnée à l'origine $p$ (point de coupure avec l'axe des ordonnées).

Géométrie repérée — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

21 exercices

Coordonnées de vecteurs, parallélogramme et milieux

Facile

Énoncé

Dans un repère du plan, on considère les points :

$A (2; 1)$ , $B (5; 3)$ , $C (- 1; - 2)$ , $D (- 2; 3)$ , $E (1; - 4)$ et $F (4; - 2)$ .

Calculer les coordonnées des vecteurs $A B$ , $C D$ et $E F$ .
Calculer les coordonnées de $3 A B$ , $4 C D$ puis de $3 A B - 4 C D$ .
Déterminer les coordonnées du point $G$ tel que $A B C G$ soit un parallélogramme.
Calculer les coordonnées de $M$ , $N$ et $P$ , milieux respectifs de $[A B]$ , $[A C]$ et $[B C]$ .
Calculer la distance $A B$ .

Ma réponse

Géométrie repérée

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Contenu du cours

Le repère du plan

Coordonnées d'un point

Milieu d'un segment

Distance entre deux points

Équation de droite y=mx+p

Coefficient directeur

Ordonnée à l'origine

Droites parallèles

Appartenance d'un point à une droite

Intersection de deux droites

Alignement de points

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Milieu et distance entre deux points

Exemple 2 — Équation d'une droite passant par deux points

Exemple 3 — Montrer un alignement de trois points

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Géométrie repérée — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Coordonnées de vecteurs, parallélogramme et milieux

Vecteurs colinéaires et droites parallèles

Position relative de deux droites

Point M d'abscisse 3 et d'ordonnée 5

Trouver le milieu de AB (2;3) et (8;7)

Abscisse et ordonnée du point A(3, 4)

Milieu de AB avec A(2,3) et B(8,7)

Pente d'une droite

Intersection des droites y=2x+1 et y=-x+4

Milieu de AB avec A(1,2) et B(3,8)

Équation d'une droite

Symétrique de A(3, 4) par rapport à l'origine

Distance AB avec A(1;2) et B(4;6)

Déterminer le milieu de AB (2;3) et (8;7)

Équation d'une droite passant par deux points

Droites parallèles et perpendiculaires

Milieu d'un segment et distance

Milieu et longueur d'un segment dans un repère

Distances entre trois paires de points

Milieux de deux segments donnés

Milieu et distance dans un repère

Exercices Intermédiaires

Équation cartésienne d'une droite

Parallélisme de droites

Équation de cercle

Problème de distance

Détermination du centre d'un cercle

Intersection de deux droites — système

Équation de la médiatrice

Équation d'une droite — conditions

Équation du cercle

Équation réduite et point sur une droite

Équation de droite et appartenance d'un point

Équation d'une droite — pente et ordonnée à l'origine

Point d'intersection de deux droites

Équation de droite et appartenance

Exercices Difficiles

Triangle isocèle rectangle et droites parallèles

Intersection d'une droite paramétrée et d'une droite cartésienne

Cercle et distance

Équation de droite à partir de deux points

Équation générale d'une droite

Cercle passant par un point

Triangle inscrit dans un cercle

Tangente à un cercle en un point

Intersection de deux droites

Centre et rayon d'un cercle

Reconnaître un rectangle dans un repère

Alignement, nature d'un triangle et parallélogramme

Médiatrice et cercle circumscrit

Nature d'un triangle par le calcul

Nature d'un quadrilatère

Exercices supplémentaires

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Quiz — Géométrie repérée

Équation de droite $y = m x + p$