Équations et inéquations — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Contenu du cours

Équation du premier degré

Une équation du premier degré s'écrit sous la forme $a x + b = 0$ avec $a \neq = 0$ . On isole l'inconnue : sa solution unique est $x = - \frac{b}{a}$ . Exemple : $3 x - 6 = 0$ donne $x = 2$ .

Principe de résolution

Pour résoudre, on ajoute ou retranche le même nombre dans les deux membres, puis on divise par le coefficient de $x$ . On conserve l'égalité en faisant la même opération à gauche et à droite. Exemple : $2 x + 1 = 7 \Rightarrow 2 x = 6 \Rightarrow x = 3$ .

Équation produit-nul

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Ainsi $A \times B = 0$ équivaut à $A = 0$ ou $B = 0$ . Exemple : $(x - 2) (x + 5) = 0$ donne $x = 2$ ou $x = - 5$ .

Équation quotient

Un quotient $\frac{A}{B}$ est nul si et seulement si $A = 0$ et $B \neq = 0$ . Il faut donc exclure les valeurs interdites qui annulent le dénominateur. Exemple : $\frac{x - 3}{x + 1} = 0$ donne $x = 3$ (avec $x \neq = - 1$ ).

Inéquations du premier degré

Une inéquation compare deux expressions avec un symbole $<$ , $>$ , $\leq$ ou $\geq$ . On la résout comme une équation, en isolant $x$ . Exemple : $2 x + 3 \geq 7 \Rightarrow 2 x \geq 4 \Rightarrow x \geq 2$ .

Règle du signe (multiplication ou division par un négatif)

Attention : lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, on doit inverser le sens de l'inégalité. Exemple : $- 2 x < 6 \Rightarrow x > - 3$ (le sens a changé).

Solutions et intervalles

L'ensemble des solutions d'une inéquation se note sous forme d'intervalle. Par exemple $x \geq 2$ s'écrit $[2; + \infty [$ et $x < 5$ s'écrit $] - \infty; 5 [$ . Un crochet fermé inclut la valeur, un crochet ouvert l'exclut.

Signe d'un facteur affine

Un facteur affine $a x + b$ s'annule en $x = - \frac{b}{a}$ . Il a le signe de $- a$ avant cette racine et le signe de $a$ après. Exemple : $2 x - 4$ est négatif pour $x < 2$ et positif pour $x > 2$ .

Tableau de signes d'un produit ou d'un quotient

Pour étudier le signe d'un produit ou d'un quotient de facteurs affines, on dresse un tableau de signes. On y place les racines de chaque facteur, on étudie le signe de chaque ligne, puis on applique la règle des signes pour obtenir le signe global.

Valeurs interdites dans un quotient

Dans un tableau de signes d'un quotient, les valeurs qui annulent le dénominateur sont interdites : on les marque par une double barre car le quotient n'existe pas en ces points.

Résolution graphique

On peut résoudre graphiquement une équation $f (x) = 0$ en lisant les abscisses des points où la courbe coupe l'axe des abscisses. Pour $f (x) < g (x)$ , on cherche les $x$ où la courbe de $f$ est en dessous de celle de $g$ .

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Équation produit-nul

Énoncé. Résoudre dans $R$ l'équation $(2 x - 6) (x + 4) = 0$ .

Solution.

Reconnaître un produit nul. Le membre de gauche est un produit de deux facteurs et le membre de droite vaut $0$ . Or un produit est nul si, et seulement si, l'un au moins de ses facteurs est nul.
Annuler chaque facteur. On a donc $2 x - 6 = 0$ ou $x + 4 = 0$ .
Résoudre le premier facteur. $2 x - 6 = 0$ donne $2 x = 6$ , donc $x = \frac{6}{2} = 3$ .
Résoudre le second facteur. $x + 4 = 0$ donne $x = - 4$ .
Conclusion. L'ensemble des solutions est $S = {- 4; 3}$ . (Vérification avec $x = 3$ : $(2 \times 3 - 6) (3 + 4) = 0 \times 7 = 0$ ; avec $x = - 4$ : $(2 \times (- 4) - 6) (- 4 + 4) = (- 14) \times 0 = 0$ .)

Exemple 2 — Inéquation avec tableau de signes (produit de facteurs affines)

Énoncé. Résoudre dans $R$ l'inéquation $(x - 2) (3 - x) \geq 0$ .

Solution.

Repérer les facteurs. Le membre de gauche est un produit des deux facteurs affines $x - 2$ et $3 - x$ . On va étudier le signe de chacun, puis du produit.
Valeurs qui annulent chaque facteur. $x - 2 = 0$ donne $x = 2$ . $3 - x = 0$ donne $x = 3$ .
Signe de chaque facteur affine. Le facteur $x - 2$ (coefficient de $x$ positif) est négatif avant $2$ et positif après $2$ . Le facteur $3 - x$ (coefficient de $x$ négatif) est positif avant $3$ et négatif après $3$ .
Tableau de signes. On ordonne les valeurs $2$ et $3$ et on reporte les signes, puis on multiplie ligne à ligne :
$x x - 2 3 - x (x - 2) (3 - x) - \infty - + - 20 ∣ 0 + + + 3 ∣ 00 + - - + \infty$
Lecture de l'inéquation. On cherche où le produit est positif ou nul, c'est-à-dire $(x - 2) (3 - x) \geq 0$ . D'après la dernière ligne, le produit est positif entre $2$ et $3$ , et nul en $2$ et en $3$ .
Conclusion. L'ensemble des solutions est $S = [2; 3]$ . (Vérification avec $x = 2, 5$ : $(2, 5 - 2) (3 - 2, 5) = 0, 5 \times 0, 5 = 0, 25 \geq 0$ ; avec $x = 0$ : $(- 2) (3) = - 6 < 0$ , exclu.)

Exemple 3 — Inéquation quotient et inéquation avec changement de sens

Énoncé. Résoudre dans $R$ l'inéquation $\frac{x + 1}{x - 4} \leq 0$ , puis résoudre l'inéquation $- 3 x + 5 \geq 11$ .

Solution.

Domaine du quotient. Le quotient $\frac{x + 1}{x - 4}$ n'existe que si le dénominateur n'est pas nul : $x - 4 \neq = 0$ , donc $x \neq = 4$ . La valeur $4$ est une valeur interdite.
Valeurs qui annulent numérateur et dénominateur. $x + 1 = 0$ donne $x = - 1$ . $x - 4 = 0$ donne $x = 4$ (interdite).
Tableau de signes du quotient. Le numérateur $x + 1$ est négatif avant $- 1$ et positif après ; le dénominateur $x - 4$ est négatif avant $4$ et positif après. On place une double barre sous la valeur interdite $4$ :
$x x + 1 x - 4 \frac{x + 1}{x - 4} - \infty - - + - 1 0 ∣ 0 + - - 4 ∣ ∥ ∥ + + + + \infty$
Lecture du quotient. On veut $\frac{x + 1}{x - 4} \leq 0$ , donc le quotient négatif ou nul. Il est négatif entre $- 1$ et $4$ , nul en $- 1$ , et la valeur $4$ reste exclue. D'où la première solution : $S_{1} = [- 1; 4 [$ .
Inéquation avec changement de sens. On résout $- 3 x + 5 \geq 11$ . On retranche $5$ aux deux membres : $- 3 x \geq 6$ .
Diviser par un nombre négatif. On divise les deux membres par $- 3$ ; comme on divise par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change : $x \leq \frac{6}{- 3}$ , c'est-à-dire $x \leq - 2$ . D'où la seconde solution : $S_{2} =] - \infty; - 2]$ . (Vérification avec $x = - 2$ : $- 3 \times (- 2) + 5 = 6 + 5 = 11 \geq 11$ ; avec $x = 0$ : $5 \geq 11$ est faux, exclu.)

🔑 Formules clés à retenir

Équation du premier degré : $a x + b = 0 \Rightarrow x = - \frac{b}{a}$ (avec $a \neq = 0$ )
Produit-nul : $A \times B = 0 ⟺ A = 0$ ou $B = 0$
Quotient nul : $\frac{A}{B} = 0 ⟺ A = 0$ et $B \neq = 0$
Racine d'un facteur affine : $a x + b = 0 \Rightarrow x = - \frac{b}{a}$
Multiplication/division par un négatif : le sens de l'inégalité s'inverse ( $<$ devient $>$ , $\leq$ devient $\geq$ )
Règle des signes : $(+) \times (+) = (+)$ , $(-) \times (-) = (+)$ , $(+) \times (-) = (-)$
Intervalles : $x \geq a ⟺ x \in [a; + \infty [$ ; $x < a ⟺ x \in] - \infty; a [$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Sens de l'inégalité : ne change que lorsqu'on multiplie ou divise par un nombre négatif. Ajouter ou soustraire ne change jamais le sens.
Valeurs interdites : avant toute résolution d'une équation ou inéquation quotient, repère les valeurs qui annulent le dénominateur et exclus-les.
Pour un produit, ne développe pas : utilise directement le tableau de signes, c'est plus rapide et moins source d'erreurs.
Vérifie toujours une solution en la remplaçant dans l'équation de départ.
Sur un tableau de signes, le nombre de colonnes de racines correspond au nombre de facteurs : ne pas oublier d'en placer aucune.

Équations et inéquations — Fiche d'exercices

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Équations du premier degré

Facile

Énoncé

Résoudre dans $R$ les équations suivantes :

$- 5 x + 3 = - 3 x + 2$
$3 (x + 4) = - (x + 5) + 2$

Ma réponse

Équations et inéquations

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Équation du premier degré

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Équation produit-nul

Équation quotient

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Solutions et intervalles

Signe d'un facteur affine

Tableau de signes d'un produit ou d'un quotient

Valeurs interdites dans un quotient

Résolution graphique

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Équation produit-nul

Exemple 2 — Inéquation avec tableau de signes (produit de facteurs affines)

Exemple 3 — Inéquation quotient et inéquation avec changement de sens

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

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Exercices interactifs

Exercices Faciles

Équations du premier degré

Résoudre dans R les équations suivantes :

Inéquation avec coefficient négatif

Équation avec fractions

Équation à deux étapes

Inéquation avec une solution

Approximation et encadrement à partir d'une valeur absolue

Addition et ordre

Comparaison de prix

Écart de températures

Comparaison de distances

Produit positif

Comparaison de longueurs

Comparaison de valeurs

Comparaison de nombres

Équations du premier degré, produit-nul et équation avec fractions

Équation produit-nul et inéquation simple

Équation du premier degré et équation produit-nul

Exercices Intermédiaires

Équations avec valeur absolue

Résoudre dans R les équations suivantes :

Équations du second degré (discriminant)

Résoudre dans R les équations suivantes :

Factorisation de trinômes

Factoriser les trinômes suivants :

Fonction du second degré et forme factorisée

Système par combinaison linéaire

Résoudre par la méthode des combinaisons linéaires le système :

Système d'équations

Inéquation x² - 4x - 5 ≤ 0

Comparaison de quantités

Approximation de sommes

Évaluation de budgets

Évaluation de la taille

Inéquation avec radical

Inéquation produit et tableau de signes

Encadrements et applications

Valeur absolue et inéquations

Inéquations avec valeur absolue

Valeur absolue : équation et inéquation

Signe de (-2x+8)(3x+3) et inéquation associée

Inéquation avec multiplication par un nombre négatif

Signe de (2x-6)(-x-1) et inéquation associée

Exercices Difficiles

Équation rationnelle (factorisation préalable)

Résoudre dans R l'équation :

Systèmes par la méthode des déterminants

Résoudre par la méthode des déterminants (méthode de Cramer) les systèmes suivants :

Discussion d'une équation paramétrée

Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel m, les solutions de l'équation :

Système avec valeur absolue et radical

Résoudre dans R2 le système :

Inéquation x² - 4x ≥ 0

Inéquation avec application concrète

Démonstration d'ordre

Résoudre dans $R$ les équations suivantes :

Résoudre dans $R$ les équations suivantes :

Résoudre dans $R$ les équations suivantes :

Résoudre dans $R$ l'équation :

Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel $m$ , les solutions de l'équation :

Résoudre dans $R^{2}$ le système :