Nombres et calculs — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Les ensembles de nombres

On classe les nombres dans des ensembles emboîtés : $N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$ . $N$ : entiers naturels ( $0, 1, 2, \dots$ ). $Z$ : entiers relatifs ( $\dots, - 2, - 1, 0, 1, \dots$ ). $D$ : nombres décimaux ( $1, 5$ ; $- 0, 07$ ). $Q$ : rationnels, quotients $\frac{a}{b}$ avec $b \neq = 0$ . $R$ : tous les nombres de la droite graduée.

Nombres rationnels et irrationnels

Un rationnel s'écrit $\frac{a}{b}$ ( $a \in Z$ , $b \in Z^{*}$ ), par exemple $\frac{2}{3}$ . Un nombre comme $2$ ou $π$ est irrationnel : il n'est le quotient d'aucun entier. Tout décimal est rationnel, mais tout rationnel n'est pas décimal ( $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal).

Les puissances

Pour $a \neq = 0$ et $n$ entier : $a^{n} = n facteurs a \times a \times \dots \times a$ . Par convention $a^{0} = 1$ et $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ . Exemple : $2^{3} = 8$ et $5^{- 2} = \frac{1}{25}$ .

Règles de calcul sur les puissances

Pour un même nombre $a$ : $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ , $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ , $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ . Pour un même exposant : $(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}$ . Exemple : $a^{5} \times a^{2} = a^{7}$ et $(2 a)^{3} = 8 a^{3}$ .

Les racines carrées

Pour $a \geq 0$ , la racine carrée $a$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$ : $(a)^{2} = a$ . Ainsi $9 = 3$ et $0 = 0$ . La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans $R$ .

Règles sur les racines carrées

Pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$ : $a \times b = a \times b$ et, si $b > 0$ , $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ . On a aussi $a^{2} = a$ (pour $a \geq 0$ ). Exemple : $50 = 25 \times 2 = 52$ .

Les fractions

Une fraction ne change pas de valeur si on multiplie (ou divise) numérateur et dénominateur par un même nombre non nul : $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$ . Addition après mise au même dénominateur : $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}$ . Produit : $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$ . Division : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ .

Les identités remarquables

Ce sont trois égalités à connaître par cœur : $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ et $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ . Elles servent dans les deux sens. Exemple : $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ .

Développer une expression

Développer, c'est transformer un produit en somme en supprimant les parenthèses. On utilise la distributivité : $k (a + b) = k a + k b$ et la double distributivité $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ . Exemple : $(x + 2) (x - 5) = x^{2} - 3 x - 10$ .

Factoriser une expression

Factoriser, c'est l'inverse : transformer une somme en produit. On cherche un facteur commun ( $k a + k b = k (a + b)$ ) ou on reconnaît une identité remarquable. Exemple : $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ et $6 x + 9 = 3 (2 x + 3)$ .

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Développer et factoriser avec les identités remarquables

Énoncé. Développer l'expression $A = (2 x + 3)^{2} - (x - 5) (x + 5)$ , puis factoriser l'expression $B = 9 x^{2} - 12 x + 4$ .

Solution.

Développement du carré. On utilise l'identité $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ avec $a = 2 x$ et $b = 3$ : $(2 x + 3)^{2} = (2 x)^{2} + 2 \times 2 x \times 3 + 3^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 9$ .
Développement du produit. On reconnaît $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ avec $a = x$ et $b = 5$ : $(x - 5) (x + 5) = x^{2} - 25$ .
Soustraction. $A = (4 x^{2} + 12 x + 9) - (x^{2} - 25) = 4 x^{2} + 12 x + 9 - x^{2} + 25 = 3 x^{2} + 12 x + 34$ .
Factorisation de $B$ . On cherche à écrire $B$ sous la forme $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ . Ici $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ et $4 = 2^{2}$ , donc $a = 3 x$ et $b = 2$ . Le double produit vaut $2 ab = 2 \times 3 x \times 2 = 12 x$ , ce qui correspond bien au terme central $- 12 x$ .
Conclusion. $B = (3 x)^{2} - 2 \times 3 x \times 2 + 2^{2} = (3 x - 2)^{2}$ . (Vérification en développant : $(3 x - 2)^{2} = 9 x^{2} - 12 x + 4$ .)

Exemple 2 — Simplifier une racine carrée et une fraction

Énoncé. Écrire $C = 50 + 38 - 18$ sous la forme $k 2$ , puis simplifier la fraction $D = \frac{84}{126}$ .

Solution.

Décomposition des radicandes. On extrait les carrés parfaits : $50 = 25 \times 2$ , $8 = 4 \times 2$ et $18 = 9 \times 2$ . On utilise la propriété $a \times b = a \times b$ (pour $a ⩾ 0$ et $b ⩾ 0$ ).
Simplification de chaque racine. $50 = 25 \times 2 = 52$ ; $8 = 4 \times 2 = 22$ ; $18 = 9 \times 2 = 32$ .
Calcul de $C$ . $C = 52 + 3 \times 22 - 32 = 52 + 62 - 32 = (5 + 6 - 3) 2 = 82$ .
Simplification de la fraction. On décompose le numérateur et le dénominateur : $84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7$ et $126 = 2 \times 3 \times 3 \times 7$ . Le plus grand diviseur commun est $2 \times 3 \times 7 = 42$ .
Conclusion. $D = \frac{84}{126} = \frac{84 \div 42}{126 \div 42} = \frac{2}{3}$ . (Vérification : $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 42}{3 \times 42} = \frac{84}{126}$ .)

Exemple 3 — Calculer avec les puissances

Énoncé. Écrire chacune des expressions suivantes sous la forme d'une seule puissance de $2$ , puis donner sa valeur : $E = \frac{2 ^{7} \times 2 ^{- 3}}{2 ^{2}}$ et $F = \frac{( 2 ^{3} ) ^{4}}{2 ^{9}}$ .

Solution.

Rappel des règles. Pour un même nombre $a \neq = 0$ : $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ , $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ et $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ .
Numérateur de $E$ . $2^{7} \times 2^{- 3} = 2^{7 + (- 3)} = 2^{4}$ .
Calcul de $E$ . $E = \frac{2 ^{4}}{2 ^{2}} = 2^{4 - 2} = 2^{2} = 4$ .
Numérateur de $F$ . $(2^{3})^{4} = 2^{3 \times 4} = 2^{12}$ .
Calcul de $F$ . $F = \frac{2 ^{12}}{2 ^{9}} = 2^{12 - 9} = 2^{3} = 8$ . (Vérification de $E$ sans les règles : $\frac{128 \times \frac{1}{8}}{4} = \frac{16}{4} = 4$ .)

🔑 Formules clés à retenir

Puissances : $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ ; $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ ; $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ ; $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ ; $a^{0} = 1$
Produit/quotient de puissances : $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$ ; $(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$
Racines carrées : $(a)^{2} = a$ ; $a^{2} = a$ (si $a \geq 0$ )
Produit/quotient de racines : $ab = a b$ ; $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$
Identité 1 : $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
Identité 2 : $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
Identité 3 : $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$
Fractions : $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}$ ; $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Piège de la racine d'une somme : $a + b \neq = a + b$ . Exemple : $9 + 16 = 25 = 5$ , alors que $9 + 16 = 3 + 4 = 7$ .
Piège du carré d'une somme : $(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ . Il manque le double produit $2 ab$ . Ne jamais oublier le terme du milieu.
Signe et carré : $- 3^{2} = - 9$ (le carré porte sur le $3$ ) mais $(- 3)^{2} = 9$ . Bien placer les parenthèses.
Puissance négative : $a^{- n}$ n'est pas un nombre négatif : c'est un inverse. $2^{- 3} = \frac{1}{8} > 0$ .
Racine d'un carré : $a^{2} = a$ seulement si $a \geq 0$ . Sinon $a^{2} = - a$ ( $= ∣ a ∣$ ).
Fractions : on ne simplifie JAMAIS à travers un $+$ : dans $\frac{2 + x}{2}$ on ne peut pas « barrer » les $2$ .
$π$ et $2$ : ce sont des valeurs exactes irrationnelles. $3, 14$ n'est qu'une valeur approchée de $π$ : on garde la forme exacte tant que possible.

Nombres et calculs — Fiche d'exercices

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Nombres naturels inférieurs à 10

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Écrivez tous les nombres naturels inférieurs à 10.

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Nombres rationnels et irrationnels

Les puissances

Règles de calcul sur les puissances

Les racines carrées

Règles sur les racines carrées

Les fractions

Les identités remarquables

Développer une expression

Factoriser une expression

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Développer et factoriser avec les identités remarquables

Exemple 2 — Simplifier une racine carrée et une fraction

Exemple 3 — Calculer avec les puissances

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Nombres et calculs — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Nombres naturels inférieurs à 10

Identification des ensembles

Comparaison de nombres

Les cinq premiers nombres naturels

Nombres entiers relatifs

Trois exemples de nombres rationnels

Deux exemples de nombres rationnels

Identification d'un nombre naturel

Valeur absolue

Appartenance aux ensembles

Valeur absolue — équations simples

Intervalles et opérations

Puissances, fractions et racines : calculs de base

Puissances et racines carrées : calculs et simplifications

Ensembles de nombres, puissances et racines carrées

Exercices Intermédiaires

Simplification d'expressions fractionnaires

Égalités à démontrer

Développer et factoriser

Développement et factorisation

Partie entière de 5,9 et -3,2

Justifier l'inclusion de N dans Z

Intervalles de nombres réels

Partie entière de 3,7

Inégalité triangulaire avec 3 et -5

Inclusion des ensembles

Intervalle de nombres réels

Propriété de la valeur absolue

Partie entière de 4,8

Inégalité triangulaire avec 3 et 4

Exemple et justification d'un nombre irrationnel

Racines carrées et simplifications

Valeur absolue - équations

Inéquation avec valeur absolue |x − a| < b

Fractions et appartenance à ℚ

Développement, factorisation et identités remarquables

Identités remarquables : développer et factoriser

Développement, identités remarquables et factorisation

Exercices Difficiles

Montrer qu'un nombre est rationnel ou entier

Nature de nombres construits avec des radicaux

Valeur absolue et inégalités

Résoudre une inégalité

Nombre irrationnel : preuve de non-appartenance à Q

Problème de budget

Démontrer que N est inclus dans Z

Valeur absolue et inégalité

Problème de nombres rationnels

Résolution d'inéquation

Vérification d'un nombre dans un intervalle

Ensemble des entiers relatifs

Partie entière et encadrement

Calcul littéral, racines et factorisations combinées

Calcul littéral, racines carrées et démonstration

Fractions, calcul littéral et factorisation par facteur commun caché

Exercices supplémentaires